B2 · Episode 2 · 9:22
Pokémon, Integrals, and Peas
An absurdist juxtaposition linking pop culture, mathematics, and mundane objects.
Source：Nathan Uyttendaele · Laura Maugeri · Gwenaël Grisi / chatisticien · License：CC BY 4.0
Transcript
Pour mon chat Albert, la statistique c'est avant tout une histoire de mathématiques.
For my cat Albert, statistics is first and foremost a matter of mathematics.
Mais ce qu'Albert ne sait pas, c'est que la palette d'outils mathématiques que le
But what Albert doesn’t know is that the set of mathematical tools statisticians use daily is in fact very limited.
statisticien utilise au quotidien est en fait très limitée.
the set of mathematical tools statisticians use daily is in fact very limited.
Dans cette palette, on retrouve principalement le calcul matriciel,
In this set, matrix calculus is found primarily,
l'intégration et le calcul différentiel.
integration and differential calculus.
Aujourd'hui, c'est de ces deux derniers que je vais parler à mon chat.
Today, I’m going to talk to my cat about these last two.
Ne t'inquiète pas Albert, si la vidéo du jour va nécessiter ta pleine attention,
Don’t worry, Albert—if today’s video will require your full attention,
elle n'en demeure pas moins à la portée de tous les félins.
it remains nonetheless accessible to all felines.
Les fonctions mathématiques, comme le carré de x ou le logarithme népérien de x,
Mathematical functions, such as x squared or the natural logarithm of x,
sont un peu comme les Pokémon.
are a bit like Pokémon.
Il y en a beaucoup, certaines sont plus communes que d'autres,
There are many, some are more common than others,
et on peut les faire évoluer.
and we can integrate them.
Par exemple, l'évolution ou intégrale du carré de x est le cube de x divisé par 3,
For example, the integration or antiderivative of x squared is x cubed divided by 3,
et on note les choses comme à l'écran.
and we write things as shown on screen.
Le cube de x divisé par 3 peut à son tour être intégré, le résultat est alors x
x cubed divided by 3 can in turn be integrated, the result is then x
exposant 4 divisé par 12, une autre fonction que l'on peut encore intégrer si on le
exponent 4 divided by 12, another function that can still be integrated if one
désire. Tout comme le Pokémon Evoli, certaines fonctions ont le choix entre
wishes. Just like the Pokémon Eevee, some functions have the choice between
plusieurs évolutions.
multiple evolutions.
Prenons ainsi la nouvelle fonction affichée à l'écran.
Let’s take the new function displayed on screen.
La particularité de cette fonction est qu'elle possède trois arguments,
The characteristic of this function is that it has three arguments,
non seulement x, mais aussi y et z, les lettres
not only x, but also y and z, the letters
utilisées étant arbitraires, j'aurais très bien pu écrire la même fonction avec
u, v, and w instead of x, y, and z as arguments.
comme arguments u, v et w à la place de x, y et z.
u, v, and w instead of x, y, and z as arguments.
ce qui est important de comprendre, c'est qu'on intègre toujours par rapport à un
what’s important to understand is that we always integrate with respect to a
argument précis.
specific argument.
Notre nouvelle fonction en comportant trois, il y a trois évolutions possibles qui
Our new function having three, there are three possible evolutions that
sont les suivantes.
follow.
De façon générale Albert, si tu as besoin d'intégrer une fonction,
Generally speaking, Albert, if you need to integrate a function,
tu devras consulter des tables d'intégrales, présentes dans tout bon livre de maths.
you’ll need to consult integral tables, present in any good math textbook.
Via ces tables, on peut ainsi apprendre que l'évolution ou intégrale de x exposant a
Via these tables, we can thus learn that the evolution or integral of x raised to the power a
donne toujours une fraction.
always gives a fraction.
Le numérateur est x exposant a plus un et le dénominateur est juste a plus un.
The numerator is x raised to the power of a plus one, and the denominator is simply a plus one.
Ceci fonctionne avec n'importe quelle valeur de a, à l'exception de- 1.
This works for any value of a, except -1.
Dans ce cas de figure, l'intégrale de x exposant a vaut le logarithme népérien de x,
In this case, the integral of x raised to the power of a equals the natural logarithm of x,
ce qui est noté log de x par les statisticiens.
which statisticians denote as log of x.
D'autres résultats classiques sont par exemple que l'intégrale du cosinus de x vaut
Other classic results include, for example, that the integral of cosine of x equals
le sinus de x, ou que si la fonction f de x est simplement une valeur b multipliant
sine of x, or that if the function f of x is simply a value b multiplied by
x, l'intégrale de cette fonction est b fois l'intégrale de x,
x, the integral of this function is b times the integral of x,
ce qui fait b fois la moitié du carré de x.
which yields b times half the square of x.
Consulter des tables d'intégrales est toutefois indigne d'un petit chat vivant au
However, consulting tables of integrals is unworthy of a living kitten in the
XXIe siècle. Pour intégrer une fonction, le plus efficace aujourd'hui est de faire
21st century. To integrate a function, the most efficient approach today is to
appel à des calculateurs en ligne.
call upon online calculators.
Mon préféré c'est sympy gamma, mais il m'arrive aussi d'utiliser wolfram alpha.
My favorite is SymPy Gamma, but I also sometimes use Wolfram Alpha.
Par exemple, pour faire évoluer x exposant 4 divisé par 12 dans wolfram alpha,
For example, to differentiate x raised to the power of 4 divided by 12 in Wolfram Alpha,
il faut y entrer le texte suivant, l'accent circonflexe permettant de mettre le
you need to enter the following text, the caret symbol enabling exponentiation.
chiffre 4 en exposant de x.
the number 4 as superscript of x.
le résultat de cette intégrale est selon wolfram alpha x exposant cinq divisé par
the result of this integral is, according to Wolfram Alpha, x to the power five divided by
soixante. Dans sympy gamma, un projet open source, il faut noter les choses
sixty. In SymPy Gamma, an open-source project, things must be noted slightly differently, as on screen.
légèrement différemment, comme à l'écran.
slightly differently, as on screen.
Le résultat est toutefois bien sûr le même que dans Wolfram Alpha.
The result is, of course, the same as in Wolfram Alpha.
Intégrer des fonctions mathématiques, cela ne représente toutefois que la moitié de
Integrating mathematical functions, however, represents only half of
l'histoire, car s'il est possible de faire évoluer la plupart d'entre elles,
the story, because if most of them can be evolved,
il est aussi possible d'aller dans le sens inverse et de faire régresser ces
it is also possible to go in the reverse direction and regress these
fonctions. Cela s'appelle le calcul différentiel.
functions. This is called differential calculus.
Si je désire faire régresser la fonction x exposant cinq divisé par soixante par
If I wish to regress the function x to the power five divided by sixty with respect to x,
rapport à x, je dois entrer dans SymPy gamma le texte suivant.
I must enter the following text into SymPy Gamma.
on récupère alors bien la fonction originale, avant son évolution par rapport à x.
we then correctly recover the original function, before its evolution with respect to x.
Et de la même manière que l'on peut faire évoluer certaines fonctions dans plusieurs
And just as certain functions can be evolved in multiple
directions, on peut faire régresser ces dernières selon plusieurs directions aussi.
directions, these latter ones can also be regressed along multiple directions.
Voici les résultats pour notre fonction à trois arguments.
Here are the results for our function with three arguments.
Remarque au passage Albert, comment les choses sont notées, les symboles étranges à
By the way, Albert, note how things are recorded—the strange symbols on the screen are curved Ds.
l'écran étant des D incurvés.
the screen being curved Ds.
Il est également possible de dériver la fonction plusieurs fois d'affilée,
It is also possible to differentiate the function multiple times consecutively,
et pas forcément par rapport au même argument.
and not necessarily with respect to the same argument.
Ainsi la dérivée par rapport à z et ensuite par rapport à x donne le résultat
Thus, differentiation with respect to z followed by differentiation with respect to x yields the following result.
suivant. De nombreuses fonctions ne peuvent toutefois pas régresser indéfiniment.
However, many functions cannot be regressed indefinitely.
Si je parcours de haut en bas les arbres évolutifs des Pokémon Salamèche,
If I traverse top-down the evolutionary trees of Pokémon Charmander,
Evoli et Bulbizarre, on constate qu'il existe une racine commune représentée par un
Eevee and Bulbasaur, one observes a common root represented by an
œuf, en dessous de laquelle on ne peut pas descendre.
egg, below which one cannot descend further.
le même phénomène existe pour de nombreuses fonctions mathématiques si on les dérive
the same phenomenon exists for many mathematical functions if they are differentiated
suffisamment de fois elles finissent par se réduire à la valeur zéro
sufficiently many times—they eventually reduce to zero.
voici par exemple le résultat si on dérive trois fois d'affilée la fonction t
Here, for example, is the result if we differentiate the function t
exposant deux par rapport à son argument t
squared three times consecutively with respect to its argument t.
La dérivée de zéro étant encore zéro, il n'est pas possible d'aller plus loin que
Since the derivative of zero is still zero, it is impossible to go beyond
zéro. Pour notre fonction aux trois arguments x, y et z, la réduction à zéro est
zero. For our function with three arguments x, y and z, reduction to zero is
facile à obtenir en dérivant deux fois par rapport à son argument x.
easy to obtain by differentiating twice with respect to its argument x.
Il existe toutefois beaucoup de fonctions qui ne peuvent être réduites à l'état
However, there exist many functions that cannot be reduced to the egg state.
d'œuf. Pour ne donner qu'un exemple, prenons la fonction sinus de x.
For just one example, take the sine function of x.
Si on dérive successivement cette fonction, un cycle sans fin se crée et on constate
If we successively differentiate this function, an endless cycle is created and we observe
qu'il n'est pas possible de régresser à l'état d'œuf.
that it is impossible to regress to the egg state.
À ce stade Albert, tu te demandes sans doute à quoi l'intégration et le calcul
At this point Albert, you’re probably wondering what integration and differential calculus could possibly be used for.
différentiel peuvent bien servir.
what integration and differential calculus could possibly be used for.
L'intégration, pour faire court, c'est le principal outil du statisticien pour
Integration, in short, is the statistician’s primary tool for calculating probabilities.
calculer des probabilités.
calculating probabilities.
Nous en reparlerons toutefois dans le futur, le sujet méritant sa propre vidéo.
We’ll revisit this topic later, as it deserves its own video.
De son côté, le calcul différentiel est l'un des outils mathématiques les plus
On the other hand, differential calculus is one of the most powerful mathematical tools I know—capable of changing the world.
puissants que je connaisse, capable de changer le monde.
capable of changing the world.
Par jour, plus d'un demi milliard de canettes à base d'aluminium sont consommées,
Every day, over half a billion aluminum cans are consumed,
ce qui signifie que des milliers de tonnes de ce métal sont quotidiennement
meaning thousands of tons of this metal are needed daily to quench our thirst.
nécessaires pour nous abreuver.
thousands of tons of this metal are needed daily to quench our thirst.
la forme en cylindre des canettes est une évidence l'objet est ainsi agréable à
the cylindrical shape of cans is obvious, the object is thus pleasant to
tenir en main en plus de pouvoir être facilement posé sur une surface plane mais les
hold in hand in addition to being easily placed on a flat surface but the
dimensions que le cylindre doit avoir afin de minimiser la quantité d'aluminium
dimensions that the cylinder must have to minimize the amount of aluminum
nécessaire à sa fabrication sont beaucoup moins évidentes
necessary for its fabrication are much less obvious.
Voici Albert, trois canettes ayant toutes un volume identique de 250 millilitres et
Here is Albert, three cans having identical volumes of 250 milliliters and
des hauteurs différentes.
different heights.
Si le volume de ces canettes est le même, la surface d'aluminium nécessaire à leur
If the volume of these cans is the same, the surface area of aluminum required for their
fabrication n'est pas la même.
fabrication is not the same.
Facile à trouver sur internet, la fonction permettant de calculer la surface d'un
Easy to find online, the function for calculating the surface area of a
cylindre selon sa hauteur et son volume est celle- ci.
cylinder according to its height and volume is this one.
Via cette fonction, on trouve les surfaces de métal suivantes et on constate que la
Via this function, we find the following metal surface areas and observe that the
première canette, plus élancée, nécessite davantage de métal pour sa fabrication que
first can, more slender, requires more metal for its fabrication than
les deux autres.
the other two.
Aucune de ces canettes n'est toutefois la canette de 250 millilitres idéale.
None of these cans is however the ideal 250-milliliter can.
La canette idéale, c'est celle dont la hauteur h donne la surface de métal la plus
The ideal can is the one whose height h gives the smallest metal surface area.
petite possible.
small possible.
En langage de mathématicien, on dira qu'il faut minimiser la fonction permettant de
In mathematician's language, we would say that we need to minimize the function that
calculer la surface de métal selon son argument h.
calculates the metal surface area according to its argument h.
Il existe de nombreuses façons de minimiser une fonction par rapport à un ou
There are many ways to minimize a function with respect to one or
plusieurs de ses arguments, mais la plus commune est celle que je vais maintenant
several of its arguments, but the most common is the one I will now
appliquer et qui repose de façon critique sur le calcul différentiel.
apply, which critically relies on differential calculus.
Je dérive d'abord la fonction selon h avec l'aide de sympy gamma,
I first differentiate the function with respect to h using sympy gamma,
et je cherche ensuite la valeur de h telle que la fonction dérivée devienne zéro.
and then find the value of h such that the derivative function becomes zero.
La réponse est la racine cubique suivante obtenue en isolant h,
The answer is the following cube root obtained by isolating h,
et pour un volume de deux cent cinquante millilitres, on trouve une hauteur de six
and for a volume of two hundred fifty milliliters, we find a height of six
huit centimètres.
point eight centimeters.
avec cette hauteur, la surface de la canette sera de deux cent vingt centimètres
With this height, the can's surface area will be two hundred twenty square centimeters.
carrés. Le calcul différentiel nous garantit qu'il n'existe aucune autre canette de
Differential calculus guarantees that there exists no other two-hundred-fifty-milliliter can with
deux cent cinquante millilitres avec une surface plus petite encore.
an even smaller surface area.
Ceci dit Albert, tu as sans doute remarqué que les canettes de 250 millilitres que
That said, Albert, you have probably noticed that the two-hundred-fifty-milliliter cans that
je ramène du supermarché sont presque deux fois plus hautes que cette hauteur
the ones I brought back from the supermarket are almost twice as tall as this height.
idéale. Ces canettes sont plus chères à fabriquer, mais néanmoins produites à grande
ideal. These cans are more expensive to manufacture, but are nonetheless produced on a large
échelle, car le consommateur apprécie leur forme allongée et semble prêt à payer le
scale, because the consumer appreciates their elongated shape and seems willing to pay the
surcoût de fabrication.
extra manufacturing cost.
Ce surcoût de fabrication, on peut d'ailleurs facilement le calculer.
This extra manufacturing cost can in fact be easily calculated.
Il suffit de comparer la surface de métal que le fabricant a utilisée avec la
It simply requires comparing the surface area of metal the manufacturer used with the
surface minimale nécessaire.
minimum necessary surface area.
Voici les résultats sur base de quelques produits que j'avais dans mon armoire au
Here are the results based on a few products I had in my cupboard at the time of making this video, from the Red Bull can to the Knorr brand tomato paste.
moment de faire cette vidéo, depuis la canette de Red Bull jusqu'à la crème de
moment of making this video, from the Red Bull can to the cream.
tomate de marque Knorr.
tomato paste.
Je ne voudrais toutefois pas que ce tableau paraisse trop mystérieux à mon chat.
I wouldn’t, however, want this table to appear too mysterious to my cat.
Nous allons donc vérifier ensemble la ligne correspondant à la crème de tomates.
We’ll therefore check together the line corresponding to the tomato paste.
Comme indiqué, la conserve fait 515 millilitres pour une hauteur de 13,
As indicated, the can holds 515 milliliters at a height of 13,
2 centimètres.
2 centimeters.
La surface fabricant est calculée via la formule à l'écran, ce qui fait bien 370
The manufacturer’s surface area is calculated using the formula on screen, yielding exactly 370
centimètres carrés.
square centimeters.
La hauteur idéale pour cette conserve est quant à elle calculée via la racine
The ideal height for this can, meanwhile, is calculated via the following cube root,
cubique suivante, ce qui donne 8, 7 centimètres.
yielding 8.7 centimeters.
La surface de métal liée est de trois cent cinquante- six centimètres carrés.
The bonded metal surface area is three hundred and fifty-six square centimeters.
Pour finir, la différence entre les deux surfaces est de quatorze centimètres,
Finally, the difference between the two surface areas is fourteen centimeters,
soit un surcoût de trois neuf pour cent.
i.e., a manufacturing cost increase of thirty-nine percent.
vous avez probablement chers internautes quelques conserves dans vos armoires aussi
You probably have some canned goods in your cabinets, dear internet users,
avez vous payé un surcoût de fabrication calculez ce dernier partagez vos résultats
Have you paid an extra manufacturing cost? Calculate it and share your results,
avec albert dans la section commentaires de cette vidéo et n'oubliez pas que la
with Albert in the comments section of this video—and don’t forget that,
racine cubique d'un nombre c'est simplement ce nombre exposant un tiers
the cube root of a number is simply that number raised to the power of one-third.
Comme la plupart de nos vidéos, cette nouvelle vidéo a nécessité une quantité
Like most of our videos, this new video required a colossal amount of work from Laura, Gwenaëlle, and myself.
colossale de travail de la part de Laura, Gwenaelle et moi- même.
a colossal amount of work from Laura, Gwenaëlle, and myself.
Si vous aimez ce que nous faisons et souhaitez nous encourager à poursuivre nos
If you enjoy what we do and wish to encourage us to continue our activities,
activités, considérez rejoindre les nombreux fans qui nous soutiennent déjà sur
consider joining the many fans already supporting us on Tipeee.
tipeee. Com/ amisdalbert.
tipeee.com/amisdalbert.
Merci à tous pour votre attention et à très bientôt pour de nouvelles aventures avec
Thank you all for your attention, and see you soon for new adventures with
Albert.
Albert.