B2 · 第2集 · 9:22
宝可梦、积分与豌豆
标题混搭，暗示知识、流行文化与日常的荒诞联结。
来源：Nathan Uyttendaele · Laura Maugeri · Gwenaël Grisi / chatisticien · 许可：CC BY 4.0
字幕
Pour mon chat Albert, la statistique c'est avant tout une histoire de mathématiques.
对于我的猫阿尔伯特来说，统计学首先是一门数学学科。
Mais ce qu'Albert ne sait pas, c'est que la palette d'outils mathématiques que le
但阿尔伯特不知道的是，统计学家日常使用的数学工具集实际上非常有限。
statisticien utilise au quotidien est en fait très limitée.
统计学家日常使用的数学工具集实际上非常有限。
Dans cette palette, on retrouve principalement le calcul matriciel,
在这个工具集中，主要包含矩阵计算、
l'intégration et le calcul différentiel.
积分和微分计算。
Aujourd'hui, c'est de ces deux derniers que je vais parler à mon chat.
今天，我要跟我的猫聊聊最后这两个。
Ne t'inquiète pas Albert, si la vidéo du jour va nécessiter ta pleine attention,
别担心，阿尔伯特，如果今天的视频需要你全神贯注，
elle n'en demeure pas moins à la portée de tous les félins.
但它依然适合所有猫咪理解。
Les fonctions mathématiques, comme le carré de x ou le logarithme népérien de x,
数学函数，比如x的平方或x的自然对数，
sont un peu comme les Pokémon.
有点像宝可梦。
Il y en a beaucoup, certaines sont plus communes que d'autres,
有很多，其中一些比另一些更常见，
et on peut les faire évoluer.
并且我们可以对它们进行积分。
Par exemple, l'évolution ou intégrale du carré de x est le cube de x divisé par 3,
例如，x的平方的积分或原函数是x的立方除以3，
et on note les choses comme à l'écran.
我们像屏幕上这样记写这些内容。
Le cube de x divisé par 3 peut à son tour être intégré, le résultat est alors x
x的立方除以3又可以再次积分，结果则是x
exposant 4 divisé par 12, une autre fonction que l'on peut encore intégrer si on le
指数4除以12，另一个仍可积分的函数，如果人们
désire. Tout comme le Pokémon Evoli, certaines fonctions ont le choix entre
希望如此。就像宝可梦伊布一样，某些函数可在
plusieurs évolutions.
多种进化形态之间选择。
Prenons ainsi la nouvelle fonction affichée à l'écran.
我们来看屏幕上显示的新函数。
La particularité de cette fonction est qu'elle possède trois arguments,
该函数的特点是它有三个参数，
non seulement x, mais aussi y et z, les lettres
不仅x，还有y和z，这些字母
utilisées étant arbitraires, j'aurais très bien pu écrire la même fonction avec
u、v和w代替x、y和z来作为参数。
comme arguments u, v et w à la place de x, y et z.
u、v和w代替x、y和z来作为参数。
ce qui est important de comprendre, c'est qu'on intègre toujours par rapport à un
需要理解的关键点在于，我们始终针对某个特定参数进行积分。
argument précis.
特定参数。
Notre nouvelle fonction en comportant trois, il y a trois évolutions possibles qui
我们的新函数包含三个参数，因此存在三种可能的进化形态，
sont les suivantes.
如下所示。
De façon générale Albert, si tu as besoin d'intégrer une fonction,
一般来说阿尔贝特，如果你需要积分一个函数，
tu devras consulter des tables d'intégrales, présentes dans tout bon livre de maths.
就必须查阅任何一本优秀数学书中的积分表。
Via ces tables, on peut ainsi apprendre que l'évolution ou intégrale de x exposant a
通过这些积分表，我们可以得知x的a次幂的进化或积分
donne toujours une fraction.
总是给出一个分数。
Le numérateur est x exposant a plus un et le dénominateur est juste a plus un.
分子是x的a加1次方，分母就是a加1。
Ceci fonctionne avec n'importe quelle valeur de a, à l'exception de- 1.
此公式适用于任意a值，除了-1。
Dans ce cas de figure, l'intégrale de x exposant a vaut le logarithme népérien de x,
在这种情况下，x的a次方的积分等于x的自然对数，
ce qui est noté log de x par les statisticiens.
统计学家将其记作log x。
D'autres résultats classiques sont par exemple que l'intégrale du cosinus de x vaut
其他经典结果例如，cos x的积分等于
le sinus de x, ou que si la fonction f de x est simplement une valeur b multipliant
sin x，或者若函数f(x)只是某个值b乘以
x, l'intégrale de cette fonction est b fois l'intégrale de x,
x，则该函数的积分是b乘以x的积分，
ce qui fait b fois la moitié du carré de x.
即b乘以x平方的一半。
Consulter des tables d'intégrales est toutefois indigne d'un petit chat vivant au
然而，在21世纪，查阅积分表对于一只活生生的小猫来说是不体面的。
XXIe siècle. Pour intégrer une fonction, le plus efficace aujourd'hui est de faire
21世纪。如今，对函数进行积分最有效的方法是
appel à des calculateurs en ligne.
调用在线计算器。
Mon préféré c'est sympy gamma, mais il m'arrive aussi d'utiliser wolfram alpha.
我最喜欢的是SymPy Gamma，但有时也会使用Wolfram Alpha。
Par exemple, pour faire évoluer x exposant 4 divisé par 12 dans wolfram alpha,
例如，在Wolfram Alpha中计算x的4次方除以12的导数，
il faut y entrer le texte suivant, l'accent circonflexe permettant de mettre le
需输入以下文本，其中插入符号用于表示幂运算。
chiffre 4 en exposant de x.
x的上标数字4。
le résultat de cette intégrale est selon wolfram alpha x exposant cinq divisé par
该积分的结果据Wolfram Alpha为x的五次方除以
soixante. Dans sympy gamma, un projet open source, il faut noter les choses
六十。在开源项目SymPy Gamma中，需以略有不同的方式标注，如屏幕上所示。
légèrement différemment, comme à l'écran.
稍有不同，如屏幕上所示。
Le résultat est toutefois bien sûr le même que dans Wolfram Alpha.
结果当然与Wolfram Alpha中完全相同。
Intégrer des fonctions mathématiques, cela ne représente toutefois que la moitié de
对数学函数进行积分，却仅是故事的一半，因为虽然多数函数可被演化，
l'histoire, car s'il est possible de faire évoluer la plupart d'entre elles,
虽然多数函数可被演化，
il est aussi possible d'aller dans le sens inverse et de faire régresser ces
也可反向操作，使这些函数退化。
fonctions. Cela s'appelle le calcul différentiel.
这称为微分学。
Si je désire faire régresser la fonction x exposant cinq divisé par soixante par
若我想对x的五次方除以六十这一函数关于x进行退化，
rapport à x, je dois entrer dans SymPy gamma le texte suivant.
我需在SymPy Gamma中输入以下文本。
on récupère alors bien la fonction originale, avant son évolution par rapport à x.
于是便成功还原出该函数关于x演化前的原始形式。
Et de la même manière que l'on peut faire évoluer certaines fonctions dans plusieurs
并且，正如某些函数可在多个方向上被演化，
directions, on peut faire régresser ces dernières selon plusieurs directions aussi.
这些函数也可在多个方向上被退化。
Voici les résultats pour notre fonction à trois arguments.
以下是我们的三参数函数的结果。
Remarque au passage Albert, comment les choses sont notées, les symboles étranges à
顺便提一下阿尔伯特，注意事物的记录方式，屏幕上那些奇怪的符号是弯曲的D。
l'écran étant des D incurvés.
屏幕上那些奇怪的符号是弯曲的D。
Il est également possible de dériver la fonction plusieurs fois d'affilée,
还可以连续多次对函数求导，
et pas forcément par rapport au même argument.
且不一定针对同一变量。
Ainsi la dérivée par rapport à z et ensuite par rapport à x donne le résultat
因此先对z求导再对x求导得到如下结果。
suivant. De nombreuses fonctions ne peuvent toutefois pas régresser indéfiniment.
然而，许多函数却无法无限次地进行反向推导。
Si je parcours de haut en bas les arbres évolutifs des Pokémon Salamèche,
如果我从上到下浏览喷火龙、伊布和妙蛙种子的进化树，
Evoli et Bulbizarre, on constate qu'il existe une racine commune représentée par un
伊布和妙蛙种子的进化树，会发现它们有一个共同的根，表现为一枚蛋，
œuf, en dessous de laquelle on ne peut pas descendre.
在这枚蛋之下便无法继续向下追溯了。
le même phénomène existe pour de nombreuses fonctions mathématiques si on les dérive
同样的现象也存在于许多数学函数中：如果对它们反复求导，
suffisamment de fois elles finissent par se réduire à la valeur zéro
足够多次后，最终都会归零。
voici par exemple le résultat si on dérive trois fois d'affilée la fonction t
例如，若对函数t的平方连续三次对其自变量t求导，
exposant deux par rapport à son argument t
其结果如下所示。
La dérivée de zéro étant encore zéro, il n'est pas possible d'aller plus loin que
由于零的导数仍是零，因此无法再进一步。
zéro. Pour notre fonction aux trois arguments x, y et z, la réduction à zéro est
对于我们的这个三变量函数x、y和z，归零化是
facile à obtenir en dérivant deux fois par rapport à son argument x.
对其自变量x求二阶导数即可轻松获得。
Il existe toutefois beaucoup de fonctions qui ne peuvent être réduites à l'état
然而，存在大量无法还原为‘蛋态’的函数。
d'œuf. Pour ne donner qu'un exemple, prenons la fonction sinus de x.
仅举一例，取x的正弦函数。
Si on dérive successivement cette fonction, un cycle sans fin se crée et on constate
若对该函数连续求导，便会形成一个无限循环，并且我们发现
qu'il n'est pas possible de régresser à l'état d'œuf.
无法回归到‘蛋态’。
À ce stade Albert, tu te demandes sans doute à quoi l'intégration et le calcul
此时，阿尔伯特，你大概正疑惑积分与微分计算究竟有何用处。
différentiel peuvent bien servir.
微分计算究竟有何用处。
L'intégration, pour faire court, c'est le principal outil du statisticien pour
简而言之，积分是统计学家计算概率的主要工具。
calculer des probabilités.
计算概率。
Nous en reparlerons toutefois dans le futur, le sujet méritant sa propre vidéo.
不过，我们将来会再讨论这一主题，因为它值得单独制作一期视频。
De son côté, le calcul différentiel est l'un des outils mathématiques les plus
而微分计算，则是我所知最强大的数学工具之一，足以改变世界。
puissants que je connaisse, capable de changer le monde.
足以改变世界。
Par jour, plus d'un demi milliard de canettes à base d'aluminium sont consommées,
每天，全球消耗超过五亿个铝制易拉罐，
ce qui signifie que des milliers de tonnes de ce métal sont quotidiennement
这意味着我们每日饮水所需，需耗费数千吨这种金属。
nécessaires pour nous abreuver.
需耗费数千吨这种金属。
la forme en cylindre des canettes est une évidence l'objet est ainsi agréable à
易拉罐的圆柱形形状显而易见，该物体因此握持起来
tenir en main en plus de pouvoir être facilement posé sur une surface plane mais les
握在手中，且能轻松放置于水平表面上，但
dimensions que le cylindre doit avoir afin de minimiser la quantité d'aluminium
圆柱体为最小化所需铝材用量而应具备的尺寸
nécessaire à sa fabrication sont beaucoup moins évidentes
制造所需量则远不那么明显。
Voici Albert, trois canettes ayant toutes un volume identique de 250 millilitres et
这是阿尔伯特，三只容积均为250毫升的易拉罐，
des hauteurs différentes.
高度各不相同。
Si le volume de ces canettes est le même, la surface d'aluminium nécessaire à leur
如果这些易拉罐的容积相同，则其制造所需的铝材表面积
fabrication n'est pas la même.
并不相同。
Facile à trouver sur internet, la fonction permettant de calculer la surface d'un
在网上很容易找到根据圆柱体高度和容积计算其表面积的函数，
cylindre selon sa hauteur et son volume est celle- ci.
即为此函数。
Via cette fonction, on trouve les surfaces de métal suivantes et on constate que la
通过此函数，我们得出以下金属表面积，并发现第一只较细长的易拉罐
première canette, plus élancée, nécessite davantage de métal pour sa fabrication que
制造所需金属量多于其余两只。
les deux autres.
其余两只。
Aucune de ces canettes n'est toutefois la canette de 250 millilitres idéale.
然而，这些易拉罐中没有一只是理想的250毫升易拉罐。
La canette idéale, c'est celle dont la hauteur h donne la surface de métal la plus
理想的易拉罐，是其高度h能使金属表面积达到最小值的那只。
petite possible.
小的可能。
En langage de mathématicien, on dira qu'il faut minimiser la fonction permettant de
用数学家的语言来说，我们会说需要最小化该函数，
calculer la surface de métal selon son argument h.
根据其自变量h计算金属表面积。
Il existe de nombreuses façons de minimiser une fonction par rapport à un ou
最小化一个函数相对于其一个或
plusieurs de ses arguments, mais la plus commune est celle que je vais maintenant
多个自变量，但最常用的是我接下来要
appliquer et qui repose de façon critique sur le calcul différentiel.
应用的方法，它关键依赖于微分学。
Je dérive d'abord la fonction selon h avec l'aide de sympy gamma,
我首先借助sympy gamma对函数关于h求导，
et je cherche ensuite la valeur de h telle que la fonction dérivée devienne zéro.
然后寻找使导函数为零的h值。
La réponse est la racine cubique suivante obtenue en isolant h,
答案是通过分离h得到的以下立方根，
et pour un volume de deux cent cinquante millilitres, on trouve une hauteur de six
对于二百五十毫升的体积，我们得到六
huit centimètres.
点八厘米。
avec cette hauteur, la surface de la canette sera de deux cent vingt centimètres
采用这一高度，易拉罐的表面积为二百二十平方厘米。
carrés. Le calcul différentiel nous garantit qu'il n'existe aucune autre canette de
微分学保证不存在其他二百五十毫升的易拉罐，
deux cent cinquante millilitres avec une surface plus petite encore.
具有更小的表面积。
Ceci dit Albert, tu as sans doute remarqué que les canettes de 250 millilitres que
话说回来，阿尔伯特，你大概已经注意到二百五十毫升的易拉罐，
je ramène du supermarché sont presque deux fois plus hautes que cette hauteur
我从超市带回来的几乎比这个高度高出两倍。
idéale. Ces canettes sont plus chères à fabriquer, mais néanmoins produites à grande
理想。这些易拉罐制造成本更高，但仍然大规模生产，因为消费者喜欢它们细长的形状，并且似乎愿意支付额外的
échelle, car le consommateur apprécie leur forme allongée et semble prêt à payer le
制造成本。
surcoût de fabrication.
制造附加成本。
Ce surcoût de fabrication, on peut d'ailleurs facilement le calculer.
事实上，这种制造附加成本很容易计算。
Il suffit de comparer la surface de métal que le fabricant a utilisée avec la
只需比较制造商所用金属表面积与最小必需表面积即可。
surface minimale nécessaire.
最小必需表面积。
Voici les résultats sur base de quelques produits que j'avais dans mon armoire au
以下是基于我拍摄此视频时橱柜里一些产品的结果，从红牛易拉罐到Knorr牌番茄酱。
moment de faire cette vidéo, depuis la canette de Red Bull jusqu'à la crème de
制作这个视频的时刻，从一罐红牛到奶油。
tomate de marque Knorr.
番茄酱。
Je ne voudrais toutefois pas que ce tableau paraisse trop mystérieux à mon chat.
不过，我不想让这张表格在我家猫看来过于神秘。
Nous allons donc vérifier ensemble la ligne correspondant à la crème de tomates.
因此，我们将一起核对番茄酱那一行。
Comme indiqué, la conserve fait 515 millilitres pour une hauteur de 13,
如所示，该罐头容量为515毫升，高度为13，
2 centimètres.
2厘米。
La surface fabricant est calculée via la formule à l'écran, ce qui fait bien 370
制造商表面积通过屏幕上的公式计算得出，结果确为370
centimètres carrés.
平方厘米。
La hauteur idéale pour cette conserve est quant à elle calculée via la racine
而该罐头的理想高度则通过以下立方根计算得出，
cubique suivante, ce qui donne 8, 7 centimètres.
结果为8.7厘米。
La surface de métal liée est de trois cent cinquante- six centimètres carrés.
所用金属表面积为三百五十六平方厘米。
Pour finir, la différence entre les deux surfaces est de quatorze centimètres,
最后，两者表面积之差为十四厘米，
soit un surcoût de trois neuf pour cent.
即制造成本增加了百分之三十九。
vous avez probablement chers internautes quelques conserves dans vos armoires aussi
各位网友，您家橱柜里可能也有些罐头，
avez vous payé un surcoût de fabrication calculez ce dernier partagez vos résultats
您是否为此多付了制造成本？请计算该成本并分享您的结果，
avec albert dans la section commentaires de cette vidéo et n'oubliez pas que la
在本视频评论区与阿尔伯特交流，并请记住，
racine cubique d'un nombre c'est simplement ce nombre exposant un tiers
一个数的立方根即该数的三分之一幂。
Comme la plupart de nos vidéos, cette nouvelle vidéo a nécessité une quantité
同我们大多数视频一样，本期新视频耗费了劳拉、格温娜埃尔和我本人
colossale de travail de la part de Laura, Gwenaelle et moi- même.
巨大的工作量。
Si vous aimez ce que nous faisons et souhaitez nous encourager à poursuivre nos
如果您喜欢我们的工作，并希望鼓励我们继续开展此类活动，
activités, considérez rejoindre les nombreux fans qui nous soutiennent déjà sur
请考虑加入已在Tipeee上支持我们的众多粉丝行列。
tipeee. Com/ amisdalbert.
tipeee.com/amisdalbert。
Merci à tous pour votre attention et à très bientôt pour de nouvelles aventures avec
感谢大家的关注，很快将与
Albert.
阿尔伯特。