B2 · Episode 3 · 6:03
Why casinos win: the law of large numbers
Albert the animated cat explores statistics: Pourquoi vous perdez au casino : rencontre avec la loi des grands nombres.
Source：Nathan Uyttendaele · Laura Maugeri · Gwenaël Grisi / chatisticien · License：CC BY 4.0
Transcript
Voici mon chat, Albert.
Here is my cat, Albert.
Albert est un chat avec de nombreux amis.
Albert is a cat with many friends.
Je vous présente ses trois favoris, Oscar, Max et Émilie.
Let me introduce you to his three favorites: Oscar, Max, and Émilie.
L'autre jour, Oscar a proposé un jeu.
The other day, Oscar proposed a game.
Il s'agit de lancer une pièce de monnaie en l'air jusqu'à obtenir face avec un
It involves tossing a coin into the air until heads appears, with a maximum of three tosses.
maximum de trois lancers.
maximum of three tosses.
En cas de bon résultat, Oscar promet de donner une partie de ses jetons.
In case of a good result, Oscar promises to give away some of his tokens.
Dans le cas contraire, celui qui a lancé la pièce de monnaie doit lui céder des
Otherwise, the one who tossed the coin must surrender tokens.
jetons. Les règles du jeu sont les suivantes: si le chat qui lance la pièce de
The rules of the game are as follows: if the cat who tosses the coin gets heads on the first toss, the game stops and he receives two tokens from Oscar.
monnaie obtient face dès le premier lancer, le jeu s'arrête et il reçoit deux jetons
If he gets tails and then heads, Oscar gives him one token.
d'Oscar. S'il obtient pile et ensuite face, Oscar lui donne un jeton.
But if he gets tails twice and then heads, then he must give a token to Oscar.
Mais s'il obtient deux fois pile et ensuite face, alors c'est lui qui doit donner un
Worse, if the player gets tails three times in a row, then he must give no fewer than ten tokens to Oscar.
jeton à Oscar.
token to Oscar.
Pire, si le joueur obtient pile trois fois d'affilée, alors il doit pas moins de dix
Worse, if the player gets heads three times in a row, then he owes no fewer than ten
jetons à Oscar.
tokens to Oscar.
Albert ne veut pas perdre ses jetons.
Albert doesn’t want to lose his tokens.
Il se demande quelles sont les chances d'être dans les deux derniers cas de figure
He wonders what the chances are of being in the last two scenarios,
présentés. La probabilité d'obtenir pile sur un lancer étant de un demi,
presented. Since the probability of getting heads on a single toss is one-half,
il calcule avec Max et Émilie que la probabilité d'obtenir trois fois pile vaut un
he calculates with Max and Émilie that the probability of getting three heads equals one
demi au cube, soit un huitième.
half cubed, i.e., one-eighth.
En utilisant le même raisonnement, Albert conclut que les probabilités d'obtenir
Using the same reasoning, Albert concludes that the probabilities of getting
deux fois pile et ensuite face sont aussi d'un huitième.
two heads followed by tails are also one-eighth.
Au total, les chances de perdre au jeu proposé par Oscar sont donc de un huitième
In total, the chances of losing the game proposed by Oscar are thus one-eighth
plus un huitième, soit une chance sur quatre seulement.
plus one-eighth, i.e., only one chance in four.
Ouf, voilà Albert rassuré.
Phew—Albert breathes a sigh of relief.
Il décide de commencer.
He decides to begin.
Il obtient pile puis face.
He gets heads, then tails.
Oscar lui donne comme promis un de ses jetons.
Oscar gives him one of his tokens, as promised.
Max obtient quant à lui face dès le premier lancer.
Max, for his part, gets tails on the first toss.
Il reçoit donc deux jetons de la pile d'Oscar.
He therefore receives two tokens from Oscar’s pile.
Finalement, c'est au tour d'Émilie.
Finally, it's Émilie's turn.
Elle obtient le même résultat qu'Albert et gagne donc un jeton.
She obtains the same result as Albert and thus wins a token.
Albert, Max et Émilie ont à présent tous les trois un peu pitié pour Oscar,
Albert, Max and Émilie now all feel a little pity for Oscar,
qui, comme prévu, n'a fait que perdre.
who, as expected, has only been losing.
Pourtant, à leur grande surprise, Oscar propose un second tour.
Yet, to their great surprise, Oscar proposes a second round.
Oscar a- t- il donc perdu la tête?
Has Oscar therefore lost his mind?
Vous souhaitez gagner de l'argent par les jeux de hasard?
Do you wish to earn money through games of chance?
N'allez pas au casino, ouvrez- en un!
Don't go to the casino—open one!
Mais quel est le secret de ce genre d'établissement?
But what is the secret of this kind of establishment?
Albert, Max et Émilie semblent convaincus que tout est question d'équilibre entre
Albert, Max and Émilie seem convinced that everything is a matter of balance between
probabilité de gagner et probabilité de perdre.
probability of winning and probability of losing.
Mais Oscar a de l'avance sur eux, il sait que les choses ne sont pas si simples.
But Oscar is ahead of them—he knows things aren't so simple.
Quelle est alors la bonne façon d'approcher le problème?
What, then, is the right way to approach the problem?
Comment savoir si un jeu de hasard est intéressant pour le joueur?
How do we know whether a game of chance is interesting for the player?
Avant d'aller plus loin, nous devons introduire un concept important de la
Before going further, we must introduce an important concept of the
statistique, celui de l'espérance mathématique.
statistics, that of mathematical expectation.
L'espérance mathématique, parfois plus sobrement appelée moyenne,
Mathematical expectation, sometimes more soberly called the mean,
se calcule pour une variable aléatoire.
is calculated for a random variable.
Te souviens- tu de la variable aléatoire du grenier, Albert?
Do you remember the random variable from the attic, Albert?
J'en ai finalement retrouvé les plans!
I've finally found its plans!
Le domaine de cette variable était en réalité composé de quatre éléments: - 4,
The domain of this variable was actually composed of four elements: -4,
0, 1 et 2. Les poids liés étaient 0, 005, 0, 535, 0, 14 et 0,
0, 1, and 2. The associated weights were 0.005, 0.535, 0.14, and 0,
32. Calculons l'espérance.
Let's calculate the expectation.
Il suffit de multiplier chaque valeur du domaine par son poids et d'additionner tous
It suffices to multiply each value in the domain by its weight and sum all
les résultats.
the results.
Nous arrivons de cette manière à 0, 76.
This way, we arrive at 0.76.
À quoi cela nous avance, te demandes- tu?
What does this get us, you ask?
Patience, Albert, j'y arrive.
Patience, Albert, I'm getting there.
Rappelons comment fonctionne une variable aléatoire.
Recall how a random variable works.
Une variable aléatoire, c'est comme une boîte qui a pour particularité qu'à chaque
A random variable is like a box whose particularity is that each time
ouverture, une valeur du domaine en sort.
opening, a value from the domain is output.
Les statisticiens disent alors qu'une observation de la variable a été réalisée.
Statisticians then say that an observation of the variable has been made.
Problème: il est impossible de mettre le doigt à l'avance sur la valeur qui va
Problem: it is impossible to pinpoint in advance the value that will
sortir. On sait que ce sera une valeur du domaine, mais on ne sait jamais laquelle.
output. We know it will be a value from the domain, but we never know which one.
Pendant longtemps, les statisticiens ont pensé qu'il n'y avait donc rien à ajouter
For a long time, statisticians thought there was thus nothing more to add
sur le sujet. Et puis, Jacob Bernoulli a fait une découverte extraordinaire.
on the subject. And then, Jacob Bernoulli made an extraordinary discovery.
Bien que chaque observation d'une variable est imprévisible,
Although each observation of a variable is unpredictable,
l'agrégation d'observations successives est elle parfaitement prévisible,
the aggregation of successive observations is perfectly predictable,
et d'autant plus qu'on agrège beaucoup d'observations.
and all the more so the more observations we aggregate.
Tu veux un exemple, Albert?
Want an example, Albert?
Voici les 100 observations de la boîte du grenier rassemblées par tes propres soins
Here are the 100 observations from the attic box gathered by your own efforts
il y a quelques mois.
a few months ago.
Bien que cette série d'observations est parfaitement aléatoire,
Although this series of observations is perfectly random,
il y a quelque chose qu'on peut prédire: la somme de tous ces résultats devrait être
there is something we can predict: the sum of all these results should be
proche de 76. Et en effet, en faisant la somme, on obtient 80.
close to 76. And indeed, summing them up yields 80.
On frôle 76 de seulement 4 unités.
We approach 76 by only 4 units.
Pourquoi 76? Car l'espérance de la variable vaut 0, 76.
Why 76? Because the expectation of the variable is 0.76.
Cette valeur de 0, 76, c'est en fait la valeur qui, conceptuellement,
This value of 0.76 is, in fact, conceptually,
sort à chaque fois que la boîte est ouverte.
the value that emerges each time the box is opened.
Si on l'ouvre 100 fois, c'est comme si on se retrouvait au bout du trajet avec 100
If we open it 100 times, it’s as if we end up at the end of the journey with 100,
fois 0, 76, donc avec 76.
times 0.76, thus totaling 76.
Poussons un peu plus loin à présent.
Let’s push a bit further now.
Que peut- on dire si on ouvre la boîte 1000 fois?
What can we say if we open the box 1000 times?
La somme des 1000 observations réalisées devrait être proche de 760.
The sum of the 1000 observations made should be close to 760.
Mieux encore, parce qu'on travaille maintenant avec 1000 observations,
Even better, because we are now working with 1000 observations,
on peut dire que la somme de ces 1000 observations a toutes les chances d'être
we can say that the sum of these 1000 observations has every chance of being,
encore plus proche de 760 que 80 ne
even closer to 760 than 80,
l'étaient de 76 précédemment.
were previously close to 76.
Jacob Bernoulli a donc découvert que même si les valeurs successives d'une variable
Jacob Bernoulli thus discovered that even though successive values of a variable,
sont imprévisibles, la somme de ces valeurs est tout à fait prévisible et elle est
are unpredictable, the sum of these values is entirely predictable and it will,
liée à l'espérance mathématique de la variable.
linked to the mathematical expectation of the variable.
Encore aujourd'hui, cela est considéré comme l'une des plus grandes découvertes
Even today, this is considered one of the greatest discoveries
statistiques jamais réalisées.
in statistics ever made.
Le nom donné à ce phénomène, c'est toutefois à Monsieur Poisson que nous le devons:
The name given to this phenomenon, however, we owe to Mr. Poisson:
la loi des grands nombres.
the law of large numbers.
C'est grâce à la loi des grands nombres que nous pouvons notamment percer le secret
It is thanks to the law of large numbers that we can notably uncover
de n'importe quel jeu de hasard.
the secret of any game of chance.
Revenons au jeu d'Oscar.
Let’s return to Oscar’s game.
Quelle est l'espérance mathématique de ce jeu?
What is the mathematical expectation of this game?
Le jeu d'Oscar correspond à une variable aléatoire dont le domaine est en jetons 2,
Oscar’s game corresponds to a random variable whose domain is in tokens 2,
1, - 1 et- 10.
1, -1 and -10.
Les poids liés sont 1/2, 1/4, un huitième et un huitième.
The associated weights are 1/2, 1/4, one-eighth and one-eighth.
Calculons l'espérance, on multiplie chaque valeur du domaine par son poids et on
Let’s calculate the expectation: multiply each value in the domain by its weight and
additionne tout.
add them all up.
Le résultat est alors moins 0, 125 jeton, c'est- à- dire moins un huitième.
The result is then minus 0.125 token, i.e., minus one-eighth.
L'espérance du jeu d'Oscar est négative, les choses sont claires,
Oscar's game has a negative expected value; the situation is clear,
chaque fois qu'un chat joue au jeu d'Oscar, c'est conceptuellement comme s'il
each time a cat plays Oscar's game, it is conceptually as if it
perdait le huitième d'un jeton.
loses one-eighth of a token.
Si Oscar réussit à faire jouer ses amis un grand nombre de fois à son jeu,
If Oscar succeeds in getting his friends to play his game many times,
la loi des grands nombres lui garantit donc la victoire.
the law of large numbers therefore guarantees his victory.
Après 80 parties à son jeu, il peut espérer se retrouver avec 10 jetons
After 80 rounds of his game, he can expect to end up with 10 additional tokens,
supplémentaires.
additional tokens.
Et s'il fait jouer ses amis 800 fois, on passe à 100 jetons.
And if he gets his friends to play 800 times, it goes up to 100 tokens.
Hmm, Albert a bien réfléchi, il ne veut pas de second tour au jeu d'Oscar.
Hmm, Albert has thought carefully—he doesn’t want a second round of Oscar’s game.
Mais il a une autre proposition, un autre jeu, cette fois basé sur le lancer de dés.
But he has another proposal: a different game, this time based on dice rolling.
Le joueur lance deux dés, et si la somme des valeurs qui apparaissent est un nombre
The player rolls two dice, and if the sum of the values shown is an even number,
pair, il s'agit du nombre de jetons remportés.
that number is the number of tokens won.
Par exemple, si un deux et un quatre sortent, le joueur gagne six jetons.
For example, if a two and a four come up, the player wins six tokens.
Si un trois et un cinq sortent, le joueur gagne huit jetons.
If a three and a five come up, the player wins eight tokens.
Au maximum, le joueur gagne douze jetons lorsqu'il réalise un double six.
At most, the player wins twelve tokens when rolling double sixes.
Mais dans le cas où la somme des valeurs est un nombre impair,
But in the case where the sum of the values is an odd number,
le joueur doit céder sept de ses jetons.
the player must surrender seven of their tokens.
Voilà les règles du jeu qu'Albert propose en alternative à celui d'Oscar.
Here are the rules of the game Albert proposes as an alternative to Oscar's.
Qu'en pense Chers internautes, accepteriez- vous de jouer au jeu d'Albert?
What do you, dear internet users, think—would you accept to play Albert's game?
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