B2 · Episode 4 · 6:06
How do random variables combine?
Albert the animated cat explores statistics: Comment les variables aléatoires font-elles des bébés ?
Source：Nathan Uyttendaele · Laura Maugeri · Gwenaël Grisi / chatisticien · License：CC BY 4.0
Transcript
Je vous présente Albert, mon chat.
Let me introduce Albert, my cat.
N'est- il pas mignon, occupé à dormir?
Isn't it cute, busy sleeping?
Réveille- toi Albert, c'est l'heure de faire de la statistique!
Wake up, Albert, it's time to do statistics!
Nous partons aujourd'hui d'une boîte du même genre que celle que tu avais trouvée
Today we start from a box of the same kind as the one you found
dans le grenier il y a quelque temps.
in the attic some time ago.
Comme celle du grenier, cette boîte ou variable aléatoire a pour particularité qu'à
Like the one in the attic, this box—or random variable—has the property that, at
chaque ouverture, un nombre en sort, sans que l'on puisse dire lequel à l'avance.
each opening, a number emerges, without being able to predict which one in advance.
Mais attention, tout n'est pas pour autant possible: seuls les nombres appartenant
But beware—not everything is possible: only numbers belonging
au domaine de la variable sont susceptibles d'apparaître.
to the variable’s domain can appear.
Chaque valeur du domaine est par ailleurs toujours liée à un poids.
Each value in the domain is moreover always associated with a weight.
Ainsi, pour cette variable, la valeur 14 sortira plus de la moitié du temps,
Thus, for this variable, the value 14 will emerge more than half the time,
alors que la valeur 20 ne sortira que rarement.
whereas the value 20 will appear only rarely.
Ensemble, le domaine et les poids liés forment ce que les statisticiens appellent la
Together, the domain and its associated weights form what statisticians call the
distribution de probabilité de la variable.
probability distribution of the variable.
N'importe qui peut construire sa propre variable: il suffit de définir,
Anyone can construct their own variable: simply define,
selon son humeur, un nouveau domaine et les poids liés.
according to its mood, a new domain and the related weights.
Il est également possible de créer de nouvelles variables par rassemblement de
It is also possible to create new variables by combining
variables existantes.
existing variables.
Explorons ça. Pour créer une nouvelle variable, on peut par exemple additionner ou
Let's explore this. To create a new variable, we can for example add or
multiplier deux variables.
multiply two variables.
Mais quel est alors le domaine de la nouvelle variable et les poids liés?
But what then is the domain of the new variable and the related weights?
Croisons le domaine de X et de Y.
Cross the domains of X and Y.
Au minimum, l'addition de X et de Y fera 15 et au maximum 27.
At minimum, the addition of X and Y yields 15 and at maximum 27.
Les quatre autres possibilités sont 16, 21, 22 et 26.
The four other possibilities are 16, 21, 22 and 26.
Il y a donc six valeurs dans le domaine de Z.
There are thus six values in the domain of Z.
Cherchons à présent les poids.
Let's now find the weights.
La première valeur du domaine de Z, la valeur 15, ne peut être obtenue que si la
The first value in the domain of Z, the value 15, can only be obtained if the
valeur 14 sort de la boîte X et qu'au même moment la valeur 1 sort de la boîte Y.
value 14 comes out of box X and at the same time the value 1 comes out of box Y.
Comme il y a six chances sur dix que la valeur 14 sorte de la boîte X et une chance
Since there is a six-in-ten chance that the value 14 comes out of box X and a one-in-four chance
sur quatre que la valeur 1 sorte de la boîte Y, les chances que 14 et 1 sortent en
that the value 1 comes out of box Y, the chance that 14 and 1 come out simultaneously is
même temps et donc que la valeur 15 sorte de la boîte Z sont de six dixièmes fois un
same time and therefore that the value 15 comes out of box Z is six-tenths times one
quart, soit 0, 15.
a quarter, i.e., 0.15.
Un raisonnement identique
An identical reasoning
permet d'obtenir tous les autres poids pour Z.
allows obtaining all other weights for Z.
Ainsi, le deuxième poids est le résultat de 0, 6 fois 0, 75,
Thus, the second weight is the result of 0.6 times 0.75,
alors que le dernier poids est le résultat de 0, 38 fois 0, 75.
while the last weight is the result of 0.38 times 0.75.
Bon, vérifions qu'Albert ait bien compris avec une autre construction.
Well, let’s verify Albert has understood correctly with another construction.
Partons de deux variables V et W ayant, mais ce n'est qu'un hasard,
Let’s start from two variables V and W having, but this is merely coincidence,
le même domaine et les mêmes poids, c'est- à- dire.
the same domain and the same weights, i.e.
la même distribution de probabilités.
the same probability distribution.
Nous allons à présent ajouter quatre unités à V avant de multiplier le résultat par
We will now add four units to V before multiplying the result by
le cinquième du cube de W.
the fifth of the cube of W.
Quels sont le domaine et les poids de la nouvelle variable?
What are the domain and weights of the new variable?
Que se passe- t- il Albert, tu trouves ma nouvelle construction trop compliquée?
What’s wrong, Albert—do you find my new construction too complicated?
Regardons attentivement cette équation ensemble.
Let’s examine this equation carefully together.
Elle nous dit que dès qu'une valeur sort de la boîte V, on va y ajouter quatre
She tells us that as soon as a value exits box V, we add four to it.
unités. Dès qu'une valeur sort de la boîte W, on met cette valeur au cube et ensuite
as soon as a value exits box W, we cube this value and then
on divise par cinq.
divide by five.
Pour finir, on multiplie les deux résultats et on dit que c'est ce qui sort de la
Finally, we multiply the two results and say that this is what exits box T.
boîte T. Et comme le domaine d'aussi bien V que W ne comporte que deux éléments,
And since the domain of both V and W contains only two elements,
il n'y a que quatre cas de figure à traiter.
there are only four cases to handle.
Premier cas, la valeur 0 sort aussi bien de la boîte V que de la boîte W,
First case: the value 0 exits both box V and box W,
ce qui arrivera un demi fois un demi, soit un quart du temps.
which will occur half times half, i.e., one quarter of the time.
Dans ce cas, c'est comme si 0 sortait de la nouvelle boîte puisque 0 plus 4 fois le
In this case, it’s as if 0 exits the new box since 0 plus 4 times one-fifth of the cube of 0 is still 0.
cinquième du cube de 0 fait encore 0.
one-fifth of the cube of 0 is still 0.
Second cas de figure, la
Second case:
valeur 1 sort de V et la valeur 0 sort de W, un cas de figure qui sera rencontré un
the value 1 exits V and the value 0 exits W, a case encountered one quarter of the time.
quart du temps.
one quarter of the time.
On peut calculer que dans cette situation, la variable T prend à nouveau la valeur
We can calculate that in this situation, variable T again takes the value 0.
0. Troisième cas de figure, la valeur 0 sort de V alors que la valeur 1 sort de W.
Third case: the value 0 exits V while the value 1 exits W.
Comme pour les deux précédents cas de figure, ceci arrivera.
As with the two previous cases, this will happen.
du temps. Ici, c'est quatre cinquièmes qui va sortir de la boîte T,
time. Here, four-fifths will emerge from box T,
car zéro plus quatre multiplié par le cinquième du cube de un,
because zero plus four multiplied by one-fifth of the cube of one,
cela fait quatre cinquièmes.
equals four-fifths.
Finalement, si la valeur un sort aussi bien de V que de W en même temps,
Finally, if the value one emerges from both V and W simultaneously,
la valeur un sortira également de la nouvelle boîte, et ceci va encore se produire
the value one will also emerge from the new box, and this will happen again,
un quart du temps.
a quarter of the time.
Fais les comptes Albert.
Do the math, Albert.
Le domaine de la variable T est donc composé des valeurs zéro,
The domain of variable T thus consists of the values zero,
zéro, quatre cinquièmes et un, et ces valeurs ont chacune une chance sur quatre de
zero, four-fifths, and one, and each of these values has a one-in-four chance of
sortir, ce qui donne après simplification le résultat à l'écran.
emerging, yielding after simplification the result shown on screen.
Les statisticiens adorent assembler des variables pour en créer des nouvelles.
Statisticians love assembling variables to create new ones.
Malheureusement, trouver la distribution de la nouvelle variable est souvent
Unfortunately, finding the distribution of the new variable is often
fastidieux, tellement fastidieux que certains ont introduit une façon très
so tedious that some have introduced a highly controversial way to solve the problem.
controversée de résoudre le problème.
highly controversial way to solve the problem.
Parlons à nouveau de la boîte que tu avais Albert trouvé dans le grenier.
Let's talk again about the box you found in the attic, Albert.
À l'époque, j'en avais égaré les plans, c'est à dire que je ne savais plus ce qu'en
At the time, I had lost its blueprints, meaning I no longer knew its
était la distribution de probabilité.
probability distribution.
Te souviens- tu de ce que j'avais alors fait?
Do you remember what I did then?
Mais oui, grâce aux cent observations que tu avais réalisées de cette boîte,
Of course, thanks to the hundred observations you made of that box,
j'avais conclu que le domaine devait être composé des éléments zéro,
I concluded that the sample space must consist of the elements zero,
un et deux, tandis que les poids devaient être proches de cinquante- quatre
one and two, while the weights should be close to fifty-four hundredths,
centièmes, douze centièmes et trente- quatre centièmes.
twelve hundredths and thirty-four hundredths.
Parce qu'on ne connaît pas la distribution de probabilité d'une variable aléatoire,
Since we don't know the probability distribution of a random variable,
on peut donc toujours essayer de la reconstruire via un nombre suffisant
we can always try to reconstruct it via a sufficient number
d'observations de cette variable.
of observations of this variable.
Revenons sur la variable aléatoire Z.
Let's return to the random variable Z.
Nous allons faire une centaine d'observations de X ainsi qu'une centaine
We'll make about a hundred observations of X and about a hundred
d'observations de Y, et additionner au fur et à mesure les résultats,
observations of Y, and add the results progressively,
nous amenant à cent observations de Z.
leading us to a hundred observations of Z.
Regarde Albert, on dirait que seules les valeurs 15, 16, 22,
Look Albert, it seems only values 15, 16, 22,
26 et 27 peuvent sortir.
26 and 27 can occur.
Cela doit être le domaine de Z.
This must be the domain of Z.
Pour les poids de Z, nous avons 20/100, 49/100, 3/100, 8/100
For the weights of Z, we have 20/100, 49/100, 3/100, 8/100
et 20/100. Comparons ces résultats à la vraie réponse calculée il y a quelques
and 20/100. Let's compare these results to the true answer calculated a few moments ago.
instants. Aïe, il manque une des valeurs du domaine, la valeur 21 en jaune.
Ouch, one value from the domain is missing—the value 21 in yellow.
Les poids ne sont pas les mêmes non plus, bien que certains soient assez proches de
The weights aren't the same either, although some are fairly close to
la vraie valeur.
the true value.
C'est là tout le problème de cette approche.
This is precisely the problem with this approach.
Si elle permet de trouver très rapidement la distribution de probabilité d'une
Although it allows very rapid determination of the probability distribution of a
nouvelle variable issue d'une construction compliquée, il y a toujours un risque de
new variable arising from a complicated construction, there's always a risk of
complètement rater les valeurs plus rares du domaine.
completely missing the rarer values of the domain.
Par ailleurs, les poids ne sont jamais exactement les vrais.
Moreover, the weights are never exactly the true ones.
Ces problèmes peuvent être minimisés en faisant beaucoup d'observations de la
These problems can be minimized by making many observations of the
nouvelle variable.
new variable.
Typiquement plus que cent, mais il n'est jamais possible de totalement les éliminer.
Typically more than one hundred, but it is never possible to completely eliminate them.
Cher internaute, Albert a besoin de votre avis: face à une construction compliquée,
Dear internet user, Albert needs your opinion: faced with a complicated construction,
devrait- il accepter un résultat approché qui ne sera jamais parfaitement exact,
should he accept an approximate result that will never be perfectly exact,
bien que facile à obtenir, ou
although easy to obtain, or
bien pensez- vous qu'il doit toujours calculer le résultat exact,
do you think he must always calculate the exact result,
même si cela lui sera pénible?
even if it will be burdensome for him?
Laissez- nous votre avis dans la section commentaire de cette vidéo,
Leave your opinion in the comment section of this video,
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Vous n'en pouvez plus d'attendre des semaines entre chaque vidéo des aventures
Can’t wait for weeks between each episode of Albert’s adventures? To increase our production pace without compromising on
d'Albert? Pour réussir à augmenter notre rythme de production sans compromis sur la
quality, we need resources.
qualité, il nous faut des moyens.
A donation to Albert’s Master on Tipeee.
Une donation au Maître d'Albert sur tipeee.
com/amisdalbert can make all the difference.
com/ amisdalbert peut faire toute la différence.
This fifth video is, in fact, the first to benefit from partial funding
Cette cinquième vidéo est d'ailleurs la première qui bénéficie d'un financement
through the UCL Cultural Development Fund.
partiel par le biais du Fonds de développement culturel de l'UCL.
through the UCL Cultural Development Fund.
Vous ne connaissez pas l'UCL?
You don't know UCL?
Il s'agit de la plus grande université francophone de Belgique,
It is the largest French-speaking university in Belgium,
localisée au sud- est de Bruxelles.
located in the south-east of Brussels.
Si vous envisagez de faire des études en Belgique, nous vous recommandons chaudement
If you are considering studying in Belgium, we warmly recommend
de visiter le site web uclouvain.
visiting the uclouvain website.
be. À très bientôt pour la vidéo 6, et merci de nous suivre!
See you very soon for video 6, and thank you for following us!