B2 · 第4集 · 6:06
随机变量如何组合？
动画猫咪 Albert 的统计学故事：Comment les variables aléatoires font-elles des bébés ?。
来源：Nathan Uyttendaele · Laura Maugeri · Gwenaël Grisi / chatisticien · 许可：CC BY 4.0
字幕
Je vous présente Albert, mon chat.
我来介绍阿尔伯特，我的猫。
N'est- il pas mignon, occupé à dormir?
它睡觉的样子不是很可爱吗？
Réveille- toi Albert, c'est l'heure de faire de la statistique!
醒醒，阿尔伯特，该做统计学了！
Nous partons aujourd'hui d'une boîte du même genre que celle que tu avais trouvée
今天我们从一个和你之前找到的那类盒子出发，
dans le grenier il y a quelque temps.
不久前在阁楼里。
Comme celle du grenier, cette boîte ou variable aléatoire a pour particularité qu'à
和阁楼里的那个盒子一样，这个盒子或者说随机变量的特点是，
chaque ouverture, un nombre en sort, sans que l'on puisse dire lequel à l'avance.
每次打开时，都会随机出现一个数字，而事先无法确定具体是哪一个。
Mais attention, tout n'est pas pour autant possible: seuls les nombres appartenant
但请注意，并非所有数字都可能出现：只有属于该变量定义域的数字才有可能出现。
au domaine de la variable sont susceptibles d'apparaître.
到该变量的定义域才可能显现出来。
Chaque valeur du domaine est par ailleurs toujours liée à un poids.
此外，定义域中的每个值都始终关联着一个权重。
Ainsi, pour cette variable, la valeur 14 sortira plus de la moitié du temps,
因此，对于这个变量，数值14出现的频率将超过一半，
alors que la valeur 20 ne sortira que rarement.
而数值20则只会极少出现。
Ensemble, le domaine et les poids liés forment ce que les statisticiens appellent la
定义域及其关联的权重共同构成了统计学家所称的
distribution de probabilité de la variable.
该变量的概率分布。
N'importe qui peut construire sa propre variable: il suffit de définir,
任何人都可以构建自己的变量：只需定义，
selon son humeur, un nouveau domaine et les poids liés.
根据其情绪，一个新领域及相关的权重。
Il est également possible de créer de nouvelles variables par rassemblement de
还可以通过合并现有变量来创建新变量。
variables existantes.
现有变量。
Explorons ça. Pour créer une nouvelle variable, on peut par exemple additionner ou
我们来探索一下。要创建一个新变量，例如可以将两个变量相加或
multiplier deux variables.
相乘。
Mais quel est alors le domaine de la nouvelle variable et les poids liés?
但新变量的定义域及相关的权重是什么呢？
Croisons le domaine de X et de Y.
交叉X和Y的定义域。
Au minimum, l'addition de X et de Y fera 15 et au maximum 27.
X与Y相加的最小值为15，最大值为27。
Les quatre autres possibilités sont 16, 21, 22 et 26.
其余四种可能值为16、21、22和26。
Il y a donc six valeurs dans le domaine de Z.
因此Z的定义域包含六个值。
Cherchons à présent les poids.
现在我们来寻找权重。
La première valeur du domaine de Z, la valeur 15, ne peut être obtenue que si la
Z定义域中的第一个值，即值15，仅当X盒中抽出14且同时
valeur 14 sort de la boîte X et qu'au même moment la valeur 1 sort de la boîte Y.
Y盒中抽出1时才能得到。
Comme il y a six chances sur dix que la valeur 14 sorte de la boîte X et une chance
由于X盒中抽出14的概率为十分之六，Y盒中抽出1的概率为四分之一，
sur quatre que la valeur 1 sorte de la boîte Y, les chances que 14 et 1 sortent en
同一时间抽出14和1的概率为
même temps et donc que la valeur 15 sorte de la boîte Z sont de six dixièmes fois un
同一时间，因此值15从Z箱中出来的概率是六成乘以一
quart, soit 0, 15.
即四分之一，也就是0.15。
Un raisonnement identique
一个相同的推理
permet d'obtenir tous les autres poids pour Z.
可得出Z的所有其他权重。
Ainsi, le deuxième poids est le résultat de 0, 6 fois 0, 75,
因此，第二个权重是0.6乘以0.75的结果，
alors que le dernier poids est le résultat de 0, 38 fois 0, 75.
而最后一个权重是0.38乘以0.75的结果。
Bon, vérifions qu'Albert ait bien compris avec une autre construction.
好，我们用另一个构造来验证阿尔伯特是否真正理解了。
Partons de deux variables V et W ayant, mais ce n'est qu'un hasard,
从两个变量V和W出发，它们具有——但这只是巧合——
le même domaine et les mêmes poids, c'est- à- dire.
相同的定义域和相同的权重，也就是说，
la même distribution de probabilités.
相同的概率分布。
Nous allons à présent ajouter quatre unités à V avant de multiplier le résultat par
现在我们将对V加四，再将结果乘以
le cinquième du cube de W.
W的立方的五分之一。
Quels sont le domaine et les poids de la nouvelle variable?
新变量的定义域和权重是什么？
Que se passe- t- il Albert, tu trouves ma nouvelle construction trop compliquée?
怎么了，阿尔伯特，你觉得我的新构造太复杂了吗？
Regardons attentivement cette équation ensemble.
我们一起仔细看看这个等式。
Elle nous dit que dès qu'une valeur sort de la boîte V, on va y ajouter quatre
她告诉我们，一旦一个数值从V盒中输出，我们就给它加上四。
unités. Dès qu'une valeur sort de la boîte W, on met cette valeur au cube et ensuite
一旦一个数值从W盒中输出，我们就将该数值立方，然后
on divise par cinq.
再除以五。
Pour finir, on multiplie les deux résultats et on dit que c'est ce qui sort de la
最后，我们将两个结果相乘，并称其为T盒的输出。
boîte T. Et comme le domaine d'aussi bien V que W ne comporte que deux éléments,
由于V和W的定义域都只包含两个元素，
il n'y a que quatre cas de figure à traiter.
因此只需处理四种情况。
Premier cas, la valeur 0 sort aussi bien de la boîte V que de la boîte W,
第一种情况是，数值0既从V盒又从W盒输出，
ce qui arrivera un demi fois un demi, soit un quart du temps.
这种情况发生的概率为二分之一乘以二分之一，即四分之一。
Dans ce cas, c'est comme si 0 sortait de la nouvelle boîte puisque 0 plus 4 fois le
在这种情况下，相当于0从新盒子中输出，因为0加4乘以0的立方再除以五仍为0。
cinquième du cube de 0 fait encore 0.
五分之一的0的立方仍为0。
Second cas de figure, la
第二种情况是，
valeur 1 sort de V et la valeur 0 sort de W, un cas de figure qui sera rencontré un
数值1从V盒输出，而数值0从W盒输出，这种情况将占四分之一的时间。
quart du temps.
四分之一的时间。
On peut calculer que dans cette situation, la variable T prend à nouveau la valeur
我们可以计算出，在这种情况下，变量T再次取值为0。
0. Troisième cas de figure, la valeur 0 sort de V alors que la valeur 1 sort de W.
第三种情况是，数值0从V盒输出，而数值1从W盒输出。
Comme pour les deux précédents cas de figure, ceci arrivera.
和前两种情况一样，这将会发生。
du temps. Ici, c'est quatre cinquièmes qui va sortir de la boîte T,
时间。这里，四分之五将从盒子T中出来，
car zéro plus quatre multiplié par le cinquième du cube de un,
因为零加上四乘以一的立方的五分之一，
cela fait quatre cinquièmes.
结果是四分之五。
Finalement, si la valeur un sort aussi bien de V que de W en même temps,
最后，如果数值一同时从V和W中出现，
la valeur un sortira également de la nouvelle boîte, et ceci va encore se produire
数值一也将从新盒子中出现，而这还会再次发生，
un quart du temps.
四分之一的时间。
Fais les comptes Albert.
算一下吧，阿尔伯特。
Le domaine de la variable T est donc composé des valeurs zéro,
因此，变量T的取值范围由数值零、
zéro, quatre cinquièmes et un, et ces valeurs ont chacune une chance sur quatre de
零、四分之五和一组成，且这些数值各自有四分之一的概率，
sortir, ce qui donne après simplification le résultat à l'écran.
出现，化简后得到屏幕上显示的结果。
Les statisticiens adorent assembler des variables pour en créer des nouvelles.
统计学家喜欢将变量组合起来创建新变量。
Malheureusement, trouver la distribution de la nouvelle variable est souvent
不幸的是，找出新变量的分布往往很繁琐，
fastidieux, tellement fastidieux que certains ont introduit une façon très
极其繁琐，以至于一些人引入了一种非常有争议的解决方法。
controversée de résoudre le problème.
极具争议的解决方法。
Parlons à nouveau de la boîte que tu avais Albert trouvé dans le grenier.
我们再次谈谈你在阁楼里找到的那个盒子，阿尔伯特。
À l'époque, j'en avais égaré les plans, c'est à dire que je ne savais plus ce qu'en
当时，我弄丢了它的设计图，也就是说，我不再知道其
était la distribution de probabilité.
概率分布。
Te souviens- tu de ce que j'avais alors fait?
你还记得我当时做了什么吗？
Mais oui, grâce aux cent observations que tu avais réalisées de cette boîte,
当然记得，多亏了你对那个盒子做的上百次观测，
j'avais conclu que le domaine devait être composé des éléments zéro,
我得出结论：样本空间应由元素零、
un et deux, tandis que les poids devaient être proches de cinquante- quatre
一和二组成，而权重应分别接近百分之五十四、
centièmes, douze centièmes et trente- quatre centièmes.
百分之十二和百分之三十四。
Parce qu'on ne connaît pas la distribution de probabilité d'une variable aléatoire,
由于我们不知道随机变量的概率分布，
on peut donc toujours essayer de la reconstruire via un nombre suffisant
因此总能尝试通过足够多的该变量观测值来重建它，
d'observations de cette variable.
该变量的观测值。
Revenons sur la variable aléatoire Z.
回到随机变量Z。
Nous allons faire une centaine d'observations de X ainsi qu'une centaine
我们将对X进行约一百次观测，同时对Y也进行约一百次观测，
d'observations de Y, et additionner au fur et à mesure les résultats,
并逐步将结果相加，
nous amenant à cent observations de Z.
从而得到Z的一百次观测值。
Regarde Albert, on dirait que seules les valeurs 15, 16, 22,
看阿尔伯特，看起来只有数值15、16、22，
26 et 27 peuvent sortir.
26和27可能出现。
Cela doit être le domaine de Z.
这一定是Z的定义域。
Pour les poids de Z, nous avons 20/100, 49/100, 3/100, 8/100
对于Z的权重，我们有20/100、49/100、3/100、8/100
et 20/100. Comparons ces résultats à la vraie réponse calculée il y a quelques
和20/100。将这些结果与几分钟前计算出的真实答案进行比较。
instants. Aïe, il manque une des valeurs du domaine, la valeur 21 en jaune.
哎呀，定义域中漏掉了一个值，黄色标出的值21。
Les poids ne sont pas les mêmes non plus, bien que certains soient assez proches de
权重也不相同，尽管其中一些与真实值相当接近。
la vraie valeur.
真实值。
C'est là tout le problème de cette approche.
这正是该方法的全部问题所在。
Si elle permet de trouver très rapidement la distribution de probabilité d'une
虽然它能非常快速地求出由复杂构造生成的新变量的概率分布，
nouvelle variable issue d'une construction compliquée, il y a toujours un risque de
但始终存在完全遗漏定义域中较稀有值的风险。
complètement rater les valeurs plus rares du domaine.
完全遗漏定义域中更稀有的值。
Par ailleurs, les poids ne sont jamais exactement les vrais.
此外，权重永远不会完全等于真实值。
Ces problèmes peuvent être minimisés en faisant beaucoup d'observations de la
通过大量观测新变量，可以将这些问题最小化。
nouvelle variable.
新变量。
Typiquement plus que cent, mais il n'est jamais possible de totalement les éliminer.
通常超过一百个，但永远无法完全消除。
Cher internaute, Albert a besoin de votre avis: face à une construction compliquée,
亲爱的网友，阿尔贝需要您的意见：面对一个复杂的构造，
devrait- il accepter un résultat approché qui ne sera jamais parfaitement exact,
他是否应该接受一个永远无法完全精确的近似结果，
bien que facile à obtenir, ou
尽管这个结果容易获得，还是
bien pensez- vous qu'il doit toujours calculer le résultat exact,
您是否认为他必须始终计算出精确的结果，
même si cela lui sera pénible?
即使这会让他感到费力？
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qualité, il nous faut des moyens.
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Une donation au Maître d'Albert sur tipeee.
com/amisdalbert可能带来巨大改变。
com/ amisdalbert peut faire toute la différence.
事实上，本期第五集视频是首部获得乌得勒支天主教大学文化发展基金
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be. À très bientôt pour la vidéo 6, et merci de nous suivre!
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