B2 · Episode 5 · 5:50
Chocolate spread and continuous variables
Albert the animated cat explores statistics: Pâte à tartiner et variable continue.
Source：Nathan Uyttendaele · Laura Maugeri · Gwenaël Grisi / chatisticien · License：CC BY 4.0
Transcript
Expliquer ce qu'un statisticien fait dans la vie, ce n'est pas toujours facile.
Explaining what a statistician does in real life is not always easy.
Prenons un chimiste: si ce qui le définit est son intérêt pour l'étude des atomes et
Take a chemist: if what defines him is his interest in the study of atoms and
molécules, alors le statisticien est sans aucun doute défini par son intérêt pour
molecules, then the statistician is undoubtedly defined by his interest in
l'étude des variables aléatoires.
the study of random variables.
Et que font la plupart des scientifiques avec les objets qu'ils étudient?
And what do most scientists do with the objects they study?
Ils les classifient.
They classify them.
Pour les variables aléatoires, une possibilité est de mettre d'un côté celles dites
For random variables, one possibility is to put on one side those called
non continues, et de l'autre celles dites continues.
non-continuous, and on the other side those called continuous.
Quelle est la différence?
What is the difference?
Donnons à Albert et ses amis, Marie, Oscar et Émilie, quelques exemples de variables
Let’s give Albert and his friends, Marie, Oscar and Émilie, some examples of random
aléatoires. Exemple 1: une variable dont le domaine est composé des couleurs bleue,
variables. Example 1: a variable whose domain consists of the colors blue,
orange et verte, ce qui signifie qu'à chaque observation de la variable,
orange and green, meaning that at each observation of the variable,
l'une de ces trois couleurs est obtenue.
one of these three colors is obtained.
Exemple 2: le domaine de la variable est l'ensemble des entiers naturels,
Example 2: the domain of the variable is the set of natural numbers,
c'est- à- dire 0, 1, 2, 3, ou tout autre
that is, 0, 1, 2, 3, or any other
entier positif.
positive integer.
Exemple 3: une variable dont le domaine est le segment qui va de 0 à 5,
Example 3: a variable whose domain is the segment from 0 to 5,
ce qui signifie qu'à chaque observation de la variable, un nombre entre 0 et 5 sera
meaning that for each observation of the variable, a number between 0 and 5 will be
obtenu. Cette dernière variable est un exemple de variable dite continue.
obtained. This last variable is an example of a so-called continuous variable.
Toute variable dont le domaine est un segment, une demi- droite ou la droite des
Any variable whose domain is a segment, a half-line or the real line
réels le sera.
will be.
Dans le cas contraire, et c'est le cas des deux variables sur la gauche,
In the opposite case—and this is the case for the two variables on the left,
on parle de. non continue.
we speak of non-continuous.
On dirait que j'ai lancé un grand débat entre Albert et ses amis chats.
It seems I've sparked a big debate between Albert and his cat friends.
Albert, qui collectionne les variables aléatoires depuis l'été dernier,
Albert, who has been collecting random variables since last summer,
se pose beaucoup de questions à propos de l'une d'entre elles,
has many questions about one of them,
dont le domaine est composé du segment allant de- 4 à 1, 5, mais
whose domain consists of the segment from -4 to 1.5, but also
aussi des éléments 3, 7 et 9.
the elements 3, 7 and 9.
À chaque observation de cette variable, c'est soit 3, 7 ou 9 qui sort,
For each observation of this variable, it is either 3, 7 or 9 that appears,
soit un nombre entre- 4 et 1, 5.
or a number between -4 and 1.5.
Marie et Oscar sont convaincus que cette variable appartient à la classe des
Marie and Oscar are convinced that this variable belongs to the
variables continues, tandis qu'Émilie est d'avis qu'il s'agit d'une variable non
class of continuous variables, whereas Émilie believes it is a non
continue. Albert estime quant à lui qu'aucune de ces deux classes ne convient à sa
continuous variable. Albert, for his part, estimates that neither of these two classes suits his
trouvaille. Bravo Albert, tu as tout à fait raison.
discovery. Well done, Albert—you are absolutely right.
Cette variable appartient en effet à une troisième classe, la classe des variables
This variable indeed belongs to a third class—the class of mixed variables.
mixtes. Aussi intéressante que puisse être cette troisième classe,
As interesting as this third class may be,
nous n'en parlerons pas beaucoup aujourd'hui car nous devons d'abord comprendre
we will not discuss it much today, because we must first understand
pourquoi les statisticiens trouvent important de séparer les variables qui ne sont
why statisticians find it important to separate non-mixed variables into non-continuous and continuous variables.
pas mixtes entre variables non continues et variables continues.
Remember, Albert, there are two things that characterize a random variable:
Souviens- toi Albert qu'il y a deux choses qui caractérisent une variable aléatoire:
its domain, and how a total weight of one unit has been distributed over this
son domaine, et la façon dont un poids total d'une unité a été réparti sur ce
latter. In the case of non-continuous variables, the total weight of one unit must simply
dernier. Dans le cas des variables non continues, le poids total d'une unité doit
be divided into small pieces—one piece for each element of the domain. For continuous random variables, the total weight of one unit is
simplement être divisé en petits morceaux, un morceau pour chaque élément du
distributed over the domain of the variable by spreading—and it is precisely this that makes
domaine. Pour les variables aléatoires continues, le poids total d'une unité est
domain. For continuous random variables, the total weight of one unit is
réparti sur le domaine de la variable par tartinage, et c'est bien là ce qui rend
spread over the variable's domain, as if spreading paste, and that is what makes
ces variables si particulières.
these variables so particular.
Si une baguette de pain représente le domaine de la variable,
If a baguette of bread represents the domain of the variable,
et un pot de pâte à tartiner le poids total d'une unité, le jeu consiste ici à
and a jar of spread represents the total weight of a unit, the game here consists of
tartiner l'entièreté du pot sur la baguette.
spreading the entire jar evenly over the baguette.
Si nous prenons une variable dont le domaine est un segment allant de 0 à 5,
If we take a variable whose domain is a segment from 0 to 5,
et qu'on décide de tartiner le poids total de façon uniforme,
and decide to spread the total weight uniformly,
on se retrouve avec une ligne horizontale placée à la hauteur 1/5 au- dessus du
we end up with a horizontal line placed at height 1/5 above the
domaine. Avec un tartinage du genre, une future observation de la variable aléatoire
domain. With such spreading, a future observation of the random variable
a autant de chances de provenir de la première partie du domaine que de la seconde.
has as much chance of coming from the first part of the domain as from the second.
Me suivez- vous encore tous les petits chats?
Are you all still following me, little cats?
Soyez bien attentifs, c'est maintenant que les choses sérieuses commencent.
Pay close attention—this is where things get serious.
La ligne horizontale placée à la hauteur 1/5 n'est rien d'autre qu'une fonction
The horizontal line placed at height 1/5 is nothing other than a mathematical function
mathématique de la forme f( x) = 1/5, fonction
of the form f(x) = 1/5, function
qui renvoie toujours.
that always returns.
peu importe la valeur de x qu'on lui fournit.
no matter what value of x we supply it.
Changer la façon dont on tartine le poids total d'une unité sur le domaine,
Change the way the total weight of a unit is spread over the domain,
cela signifie changer cette fonction mathématique.
this means changing this mathematical function.
Avec par exemple f de x égal 2x sur 25, il y aura plus de poids tartiné sur la
With, for example, f of x equal to 2x over 25, there will be more weight spread over the
seconde moitié du domaine et moins sur la première partie, le poids total tartiné
second half of the domain and less on the first part, the total weight spread
restant d'une unité et correspondant à la surface hachurée entre la fonction de
remaining one unit and corresponding to the area shaded between the spreading function and the domain.
tartinage et le domaine.
spreading function and the domain.
Lorsque le domaine de la variable est la droite des réels, la fonction de tartinage
When the domain of the variable is the real number line, the most commonly used spreading function
la plus utilisée est sans aucun doute celle qui donne une courbe en cloche,
is undoubtedly the one that yields a bell-shaped curve,
ou courbe de Gauss.
or Gaussian curve.
L'expression mathématique de cette courbe de Gauss est assez compliquée,
The mathematical expression of this Gaussian curve is quite complicated,
mais ce qu'il faut en retenir, c'est que la lettre grecque mu dans cette expression
but what must be retained is that the Greek letter mu in this expression
permet de choisir l'endroit du domaine où va apparaître le sommet de la cloche.
allows choosing where on the domain the peak of the bell appears.
Ainsi, avec mu égal à 5, la plupart de la matière à tartinée l'est dans les environs
Thus, with mu equal to 5, most of the material to be spread is concentrated around the number 5. When the domain of a variable y
du chiffre 5. Lorsque le domaine d'une variable y est la droite des réels et que la
is the real number line and the spreading function is a Gaussian curve, we say the distribution is
fonction de tartinage est une courbe de Gauss, on dira que la distribution de
spread function is a Gaussian curve, we say that the distribution of
probabilité de la variable est normale ou encore gaussienne.
the probability of the variable is normal or yet Gaussian.
Les statisticiens écrivent d'ailleurs ça de la façon suivante: y suivi du symbole
Statisticians write this otherwise as: y followed by the symbol
tilde et du mot normal.
tilde and the word normal.
Souvent, ils indiquent aussi entre la valeur du symbole μ après le mot normal.
Often, they also indicate between the value of the symbol μ after the word normal.
La beauté de la courbe de Gauss, c'est que si deux ou davantage de variables
The beauty of the Gaussian curve is that if two or more random variables
aléatoires ayant chacune une distribution de probabilité normale décident de faire
having each a normal probability distribution decide to make
un enfant par addition, l'enfant sera lui aussi une variable aléatoire avec
a child by addition, the child will itself be a random variable with
distribution de probabilité normale.
normal probability distribution.
En général toutefois, l'enfant obtenu par addition de plusieurs variables aléatoires
In general however, the child obtained by addition of several random variables
n'a pas la même distribution de probabilité que ses parents.
does not have the same probability distribution as its parents.
Pour donner un exemple dans lequel cela ne fonctionne pas, introduisons une dernière
To give an example in which this does not work, introduce a final
fonction de tartinage, la fonction de tartinage exponentielle.
spreading function, the exponential spreading function.
Elle est réservée pour les variables continues dont le domaine va de zéro à plus
It is reserved for continuous variables whose domain goes from zero to plus
l'infini, et concentre toujours la masse tartinée sur le début du domaine.
infinity, and concentrates always the spread mass at the beginning of the domain.
Avec trois parents caractérisés par cette fonction de tartinage,
With three parents characterized by this spreading function,
il n'est pas possible d'obtenir par addition un enfant ayant lui aussi une
it is not possible to obtain by addition a child having also a
distribution de probabilité exponentielle.
distribution of probability exponential.
Résumons ce qu'Albert et ses amis ont appris.
Let's summarize what Albert and his friends have learned.
La plupart des variables aléatoires sont soit non continues soit continues.
Most random variables are either non-continuous or continuous.
Dans les deux cas, il y a un poids d'une unité à répartir sur le domaine,
In both cases, there is a weight of one unit to distribute over the domain,
ce qui se fait par tartinage pour une variable continue.
which is done by spreading for a continuous variable.
Une fonction de tartinage courante pour les variables dont le domaine est la droite
A common spreading function for variables whose domain is the real line
des réels est la courbe de Gauss, et l'addition de deux variables avec cette
is the Gaussian curve, and the addition of two variables with this
dernière fonction de tartinage est encore une variable à la fonction de tartinage
last spreading function is still Gaussian, but this does not work as simply with other spreading functions.
gaussienne, mais cela ne marche pas aussi simplement avec d'autres fonctions de
And what about mixed variables in all this?
tartinage. Et les variables mixtes dans tout ça?
Dear internet user, Albert again requires your help: how should he distribute the
Cher internaute, Albert requiert à nouveau votre aide: comment doit- il répartir le
total weight of one unit over a variable whose domain consists of the segment
poids total d'une unité sur une variable dont le domaine est composé du segment
ranging from -4 to 1.5, but also the elements 3, 7 and 9?
allant de- 4 à 1, 5 mais aussi des éléments 3, 7 et 9?
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