B2 · 第5集 · 5:50
巧克力酱与连续变量
动画猫咪 Albert 的统计学故事：Pâte à tartiner et variable continue。
来源：Nathan Uyttendaele · Laura Maugeri · Gwenaël Grisi / chatisticien · 许可：CC BY 4.0
字幕
Expliquer ce qu'un statisticien fait dans la vie, ce n'est pas toujours facile.
向人们解释统计学家在现实生活中是做什么的，并不总是很容易。
Prenons un chimiste: si ce qui le définit est son intérêt pour l'étude des atomes et
以化学家为例：如果定义他的是他对原子研究的兴趣，以及
molécules, alors le statisticien est sans aucun doute défini par son intérêt pour
分子，那么统计学家毫无疑问是由他对随机变量研究的兴趣所定义的。
l'étude des variables aléatoires.
随机变量的研究。
Et que font la plupart des scientifiques avec les objets qu'ils étudient?
大多数科学家对其研究对象做些什么？
Ils les classifient.
他们对其进行分类。
Pour les variables aléatoires, une possibilité est de mettre d'un côté celles dites
对于随机变量，一种可能性是将所谓的非连续型变量归为一类，
non continues, et de l'autre celles dites continues.
而将所谓的连续型变量归为另一类。
Quelle est la différence?
区别在哪里？
Donnons à Albert et ses amis, Marie, Oscar et Émilie, quelques exemples de variables
让我们给阿尔伯特和他的朋友们——玛丽、奥斯卡和艾米莉——举一些随机变量的例子。例子1：一个变量，其取值域由蓝色、
aléatoires. Exemple 1: une variable dont le domaine est composé des couleurs bleue,
橙色和绿色组成，这意味着每次对该变量进行观测时，
orange et verte, ce qui signifie qu'à chaque observation de la variable,
都会得到这三种颜色中的一种。
l'une de ces trois couleurs est obtenue.
例2：该变量的取值域是自然数集合，
Exemple 2: le domaine de la variable est l'ensemble des entiers naturels,
即0、1、2、3或任何其他
c'est- à- dire 0, 1, 2, 3, ou tout autre
自然数。
entier positif.
正整数。
Exemple 3: une variable dont le domaine est le segment qui va de 0 à 5,
例3：一个变量，其定义域为从0到5的区间，
ce qui signifie qu'à chaque observation de la variable, un nombre entre 0 et 5 sera
这意味着对该变量的每次观测，都会得到一个介于0和5之间的数，
obtenu. Cette dernière variable est un exemple de variable dite continue.
获得。最后一个变量是所谓连续型变量的一个例子。
Toute variable dont le domaine est un segment, une demi- droite ou la droite des
任何定义域为区间、射线或整个实数轴的变量，
réels le sera.
都将如此。
Dans le cas contraire, et c'est le cas des deux variables sur la gauche,
在相反情况下——即左侧两个变量的情况——
on parle de. non continue.
我们称之为非连续型。
On dirait que j'ai lancé un grand débat entre Albert et ses amis chats.
我似乎在阿尔伯特和他的猫朋友们之间引发了一场大辩论。
Albert, qui collectionne les variables aléatoires depuis l'été dernier,
阿尔伯特从去年夏天起就开始收集随机变量，
se pose beaucoup de questions à propos de l'une d'entre elles,
对其中某一个提出了许多疑问，
dont le domaine est composé du segment allant de- 4 à 1, 5, mais
该变量的定义域由从-4到1.5的区间组成，但还包含元素3、7和9。
aussi des éléments 3, 7 et 9.
以及元素3、7和9。
À chaque observation de cette variable, c'est soit 3, 7 ou 9 qui sort,
对该变量的每次观测，结果要么是3、7或9，
soit un nombre entre- 4 et 1, 5.
要么是一个介于-4和1.5之间的数。
Marie et Oscar sont convaincus que cette variable appartient à la classe des
玛丽和奥斯卡确信该变量属于
variables continues, tandis qu'Émilie est d'avis qu'il s'agit d'une variable non
连续变量类，而艾米莉则认为它是一个非
continue. Albert estime quant à lui qu'aucune de ces deux classes ne convient à sa
连续变量。阿尔伯特则认为，这两类均不适用于他的
trouvaille. Bravo Albert, tu as tout à fait raison.
发现。干得好，阿尔伯特，你完全正确。
Cette variable appartient en effet à une troisième classe, la classe des variables
该变量实际上属于第三类，即混合变量类。
mixtes. Aussi intéressante que puisse être cette troisième classe,
尽管这一第三类可能非常有趣，
nous n'en parlerons pas beaucoup aujourd'hui car nous devons d'abord comprendre
今天我们却不会过多讨论它，因为我们首先需要理解
pourquoi les statisticiens trouvent important de séparer les variables qui ne sont
为何统计学家认为有必要将非混合变量划分为非连续变量和连续变量。
pas mixtes entre variables non continues et variables continues.
请记住，阿尔伯特，随机变量有两个特征：
Souviens- toi Albert qu'il y a deux choses qui caractérisent une variable aléatoire:
其定义域，以及单位总量的权重如何分布于该
son domaine, et la façon dont un poids total d'une unité a été réparti sur ce
后者之上。对于非连续变量，单位总量的权重只需
dernier. Dans le cas des variables non continues, le poids total d'une unité doit
分割成若干小块，每个定义域元素分得一块。对于连续型随机变量，单位总量的权重是
simplement être divisé en petits morceaux, un morceau pour chaque élément du
通过涂抹方式分布于变量的定义域之上，而这正是
domaine. Pour les variables aléatoires continues, le poids total d'une unité est
取值域。对于连续随机变量，一个单位的总权重被
réparti sur le domaine de la variable par tartinage, et c'est bien là ce qui rend
像涂抹酱料一样分布在变量的取值域上，而这恰恰使
ces variables si particulières.
这些如此特殊的变量。
Si une baguette de pain représente le domaine de la variable,
如果一根法棍面包代表变量的定义域，
et un pot de pâte à tartiner le poids total d'une unité, le jeu consiste ici à
而一罐果酱代表一个单位的总重量，那么游戏在这里就是
tartiner l'entièreté du pot sur la baguette.
将整罐果酱均匀地涂抹在法棍上。
Si nous prenons une variable dont le domaine est un segment allant de 0 à 5,
如果我们取一个定义域为从0到5的线段的变量，
et qu'on décide de tartiner le poids total de façon uniforme,
并决定以均匀方式涂抹总重量，
on se retrouve avec une ligne horizontale placée à la hauteur 1/5 au- dessus du
我们就会得到一条水平线，位于定义域上方高度为1/5处。
domaine. Avec un tartinage du genre, une future observation de la variable aléatoire
定义域。采用这种涂抹方式，该随机变量未来的一次观测值
a autant de chances de provenir de la première partie du domaine que de la seconde.
来自定义域第一部分的概率与来自第二部分的概率相同。
Me suivez- vous encore tous les petits chats?
大家还都跟着我这只小猫吗？
Soyez bien attentifs, c'est maintenant que les choses sérieuses commencent.
请务必集中注意力，现在才是真正的开始。
La ligne horizontale placée à la hauteur 1/5 n'est rien d'autre qu'une fonction
位于高度1/5处的这条水平线，不过是一个形如f(x) = 1/5的数学函数，
mathématique de la forme f( x) = 1/5, fonction
该函数
qui renvoie toujours.
始终返回。
peu importe la valeur de x qu'on lui fournit.
无论我们给它输入什么x值。
Changer la façon dont on tartine le poids total d'une unité sur le domaine,
改变将一个单位总重量涂抹在定义域上的方式，
cela signifie changer cette fonction mathématique.
这意味着改变这个数学函数。
Avec par exemple f de x égal 2x sur 25, il y aura plus de poids tartiné sur la
例如，当f(x)等于2x除以25时，会有更多重量涂抹在定义域的
seconde moitié du domaine et moins sur la première partie, le poids total tartiné
后半部分，而前半部分涂抹的重量更少，涂抹的总重量
restant d'une unité et correspondant à la surface hachurée entre la fonction de
仍为一个单位，并对应于涂抹函数与定义域之间阴影区域的面积。
tartinage et le domaine.
涂抹函数与定义域。
Lorsque le domaine de la variable est la droite des réels, la fonction de tartinage
当变量的定义域是实数轴时，最常用的涂抹函数
la plus utilisée est sans aucun doute celle qui donne une courbe en cloche,
无疑是呈现钟形曲线的函数，
ou courbe de Gauss.
即高斯曲线。
L'expression mathématique de cette courbe de Gauss est assez compliquée,
这条高斯曲线的数学表达式相当复杂，
mais ce qu'il faut en retenir, c'est que la lettre grecque mu dans cette expression
但需要记住的是，该表达式中的希腊字母μ
permet de choisir l'endroit du domaine où va apparaître le sommet de la cloche.
可用于选择钟形顶点在定义域中出现的位置。
Ainsi, avec mu égal à 5, la plupart de la matière à tartinée l'est dans les environs
因此，当μ等于5时，大部分待涂抹的物质集中在数字5附近。当变量y的定义域
du chiffre 5. Lorsque le domaine d'une variable y est la droite des réels et que la
是实数轴且涂抹函数是一条高斯曲线时，我们将称该分布为
fonction de tartinage est une courbe de Gauss, on dira que la distribution de
涂抹函数是一条高斯曲线，我们就称……的分布为
probabilité de la variable est normale ou encore gaussienne.
该变量的概率呈正态分布，或者说高斯分布。
Les statisticiens écrivent d'ailleurs ça de la façon suivante: y suivi du symbole
统计学家通常这样书写：y后跟符号
tilde et du mot normal.
波浪号及单词“正态”。
Souvent, ils indiquent aussi entre la valeur du symbole μ après le mot normal.
他们通常还会在“正态”一词后注明符号μ的值。
La beauté de la courbe de Gauss, c'est que si deux ou davantage de variables
高斯曲线的美妙之处在于，若两个或更多个各自具有正态概率分布的
aléatoires ayant chacune une distribution de probabilité normale décident de faire
随机变量通过相加来‘生育’一个后代，该后代本身也将是一个具有
un enfant par addition, l'enfant sera lui aussi une variable aléatoire avec
正态概率分布的随机变量。
distribution de probabilité normale.
正态概率分布。
En général toutefois, l'enfant obtenu par addition de plusieurs variables aléatoires
然而一般而言，通过对多个随机变量相加所得的后代，
n'a pas la même distribution de probabilité que ses parents.
并不具有与其父母相同的概率分布。
Pour donner un exemple dans lequel cela ne fonctionne pas, introduisons une dernière
为给出一个不适用此规律的例子，我们再引入一种最后的涂布函数，即指数涂布函数。
fonction de tartinage, la fonction de tartinage exponentielle.
涂布函数：指数涂布函数。
Elle est réservée pour les variables continues dont le domaine va de zéro à plus
它专用于定义域从零到正无穷的连续型变量，并始终将涂布质量集中在定义域起始处。
l'infini, et concentre toujours la masse tartinée sur le début du domaine.
无穷大，并始终将涂布质量集中在定义域起始处。
Avec trois parents caractérisés par cette fonction de tartinage,
若三个父母变量均以该涂布函数为特征，
il n'est pas possible d'obtenir par addition un enfant ayant lui aussi une
通过相加无法得到一个同样具有
distribution de probabilité exponentielle.
指数概率分布。
Résumons ce qu'Albert et ses amis ont appris.
总结一下阿尔伯特和他的朋友们学到的内容。
La plupart des variables aléatoires sont soit non continues soit continues.
大多数随机变量要么是非连续的，要么是连续的。
Dans les deux cas, il y a un poids d'une unité à répartir sur le domaine,
在这两种情况下，都有一个单位权重需要分配到定义域上，
ce qui se fait par tartinage pour une variable continue.
对于连续型变量，这通过涂布来实现。
Une fonction de tartinage courante pour les variables dont le domaine est la droite
一种常见的涂布函数适用于定义域为实数直线的变量，
des réels est la courbe de Gauss, et l'addition de deux variables avec cette
是高斯曲线，而两个具有该涂布函数的变量相加后，结果变量的涂布函数
dernière fonction de tartinage est encore une variable à la fonction de tartinage
仍是高斯型，但其他涂布函数却不能如此简单地实现。
gaussienne, mais cela ne marche pas aussi simplement avec d'autres fonctions de
那么混合型变量在其中又如何呢？
tartinage. Et les variables mixtes dans tout ça?
亲爱的网友，阿尔伯特再次需要您的帮助：他该如何将一个单位的总权重
Cher internaute, Albert requiert à nouveau votre aide: comment doit- il répartir le
分配到一个定义域由从-4到1.5的线段以及元素3、7和9组成的变量上？
poids total d'une unité sur une variable dont le domaine est composé du segment
从-4到1.5的线段以及元素3、7和9组成的变量上？
allant de- 4 à 1, 5 mais aussi des éléments 3, 7 et 9?
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