B2 · Episode 7 · 6:04
The central limit theorem
Albert the animated cat explores statistics: Le théorème central limite.
Source：Nathan Uyttendaele · Laura Maugeri · Gwenaël Grisi / chatisticien · License：CC BY 4.0
Transcript
Les physiciens ont la relativité générale et les élégantes équations de Maxwell,
Physicists have general relativity and the elegant Maxwell equations,
les chimistes ont le tableau périodique des éléments, les biologistes ont
chemists have the periodic table of elements, biologists have
l'évolution ou encore la fascinante molécule d'ADN, et les statisticiens ont le
evolution or even the fascinating DNA molecule, and statisticians have
théorème central limite.
the central limit theorem.
Le théorème central limite, mon chat Albert n'en a jamais entendu parler,
The central limit theorem—my cat Albert has never heard of it,
mais les statisticiens, eux, lui vouent un véritable culte.
but statisticians hold it in genuine reverence.
Sans le théorème central limite, la statistique ne serait que l'ombre de ce qu'elle
Without the central limit theorem, statistics would be but a shadow of what it
est aujourd'hui.
is today.
Il est donc grand temps, je crois, d'expliquer à Albert de quoi il s'agit.
It is therefore high time, I believe, to explain to Albert what it is about.
Au quotidien, le statisticien travaille avec ce qu'il appelle des variables
In daily work, the statistician deals with what he calls random
aléatoires. Albert, tu as encore oublié ce qu'était une variable?
variables. Albert, you’ve forgotten again what a variable is?
Bon, je te le rappelle mais c'est la dernière fois.
Well, I’ll remind you—but this is the last time.
Une variable aléatoire, c'est comme une boîte magique qui a pour particularité qu'à
A random variable is like a magic box that, by its nature, produces a value each time it’s opened,
chaque ouverture, une valeur en sort sans que l'on puisse dire ce que sera cette
without our being able to predict in advance what that value will be.
valeur à l'avance.
value.
Cela n'a toutefois pas empêché les statisticiens d'analyser un grand nombre de ces
This, however, has not prevented statisticians from analyzing a large number of these
boîtes et de conclure que, peu importe la boîte, il y a toujours ce qu'ils nomment
boxes and concluding that, regardless of the box, there is always what they call
une distribution de probabilité derrière.
a probability distribution behind.
Connaître la distribution de probabilité d'une variable est très important,
Knowing the probability distribution of a variable is very important,
Albert, car cela signifie avoir tout en main pour répondre à des questions du genre:
Albert, because it means having everything at hand to answer questions such as:
quelles sont les chances qu'une valeur entre −2 et 6, 5 sorte?
what are the chances that a value between −2 and 6.5 appears?
Ou encore: quelle est la probabilité qu'une valeur plus petite que 60 ou plus grande
Or: what is the probability that a value smaller than 60 or larger
que 142 soit obtenue?
than 142 is obtained?
Une distribution de probabilité très connue, c'est la fameuse courbe en cloche ou
A very well-known probability distribution is the famous bell curve or
distribution normale.
normal distribution.
Mais il y en a beaucoup d'autres, par exemple la distribution uniforme continue,
But there are many others, for example the continuous uniform distribution,
la distribution triangulaire,
the triangular distribution,
la distribution uniforme discrète,
the discrete uniform distribution,
la distribution exponentielle, etc.
the exponential distribution, etc.
Lorsque deux variables A et B ont exactement la même distribution de probabilité,
When two variables A and B have exactly the same probability distribution,
les statisticiens disent que ces variables sont identiquement distribuées.
statisticians say these variables are identically distributed.
Pour que tu comprennes bien ce que cela signifie Albert, imagine- toi avoir un clone
For you to fully understand what this means, Albert, imagine having a clone
qui vit quelques pâtés de maisons plus loin.
who lives a few blocks away.
Il est en tout point identique à toi, le pelage est le même,
It is identical to you in every way—the coat color is the same,
la taille aussi, la tendance à rendre son maître fou furieux en dormant dans le
the size is the same, the tendency to drive its owner mad by sleeping in the
panier à linge propre également.
clean laundry basket is also the same.
Vous êtes comme deux variables A et B qui seraient identiquement distribuées.
You are like two variables A and B that are identically distributed.
Mais ce chat et toi êtes des êtres distincts.
But this cat and you are distinct beings.
Ce n'est pas parce que ton clone est dans les bras de Morphée en ce moment que tu
Just because your clone is currently in the arms of Morpheus does not mean you
dois l'être toi aussi.
must be too.
Ce n'est pas parce que ton clone partira peut- être jouer à l'extérieur plus tard
Just because your clone may go outside to play later does not mean you
que tu en feras autant.
will do so as well.
Vous avez chacun votre propre vie.
Each of you has your own life.
Bon, passons aux choses sérieuses.
Alright, let’s get serious.
Lorsqu'il n'est pas occupé à vous présenter un graphique, l'une des occupations
When it’s not busy presenting you with a graph, one of its tasks is
favorites du statisticien consiste à assembler des variables aléatoires pour en
the statistician's favorite trick is to assemble random variables to
créer des nouvelles.
create new ones.
Si je multiplie deux variables G et H qui ne sont pas forcément identiquement
If I multiply two random variables G and H that are not necessarily identically
distribuées, même si c'est souvent le cas, le résultat est une nouvelle variable
distributed, even though it's often the case, the result is a new random variable.
aléatoire. Si je soustrais à G cinq fois la racine carrée de H,
If I subtract five times the square root of H from G,
là aussi j'obtiens une nouvelle variable aléatoire.
I likewise obtain a new random variable.
Il n'y a pas vraiment de limite à ce que l'on peut faire, mais le problème en bout
There's really no limit to what one can do, but the problem at the end
de ligne sera toujours le même: lorsqu'on assemble deux ou davantage de variables,
of the line will always be the same: when assembling two or more variables,
quelle sera la distribution de probabilité de la nouvelle variable?
what will be the probability distribution of the new variable?
C'est ici que les statisticiens ont découvert quelque chose qui aujourd'hui encore
It's here that statisticians discovered something that still fascinates me today.
me fascine. Plus on assemble un grand nombre de variables aléatoires identiquement
The more identically distributed random variables we assemble by addition,
distribuées par addition, plus la distribution de probabilité de la nouvelle
the more the probability distribution of the new variable approaches a normal distribution.
variable se rapproche d'une distribution normale.
This is the central limit theorem.
C'est ça le théorème central limite.
This is the central limit theorem.
Prenons deux boîtes ayant une distribution exponentielle.
Take two boxes having an exponential distribution.
Comme on peut le voir à l'écran, l'addition de ces deux variables ne donne pas une
As we can see on screen, adding these two variables does not yield a
variable ayant une distribution normale.
variable with a normal distribution.
Mais à mesure que l'on va additionner toujours plus de variables ayant une
But as we keep adding more and more variables with an
distribution exponentielle, la distribution de la variable finale converge lentement
exponential distribution, the distribution of the final variable converges slowly
mais sûrement vers une distribution normale.
but surely toward a normal distribution.
Et ceci fonctionne pour n'importe quelle distribution de départ.
And this works for any starting distribution.
Prenons deux variables ayant cette fois une distribution de probabilité uniforme
Let’s take two variables with a discrete uniform probability distribution
discrète. Leur addition donne le résultat à l'écran, qui n'est clairement pas une
this time. Their sum yields the result on screen, which is clearly not a
distribution normale.
normal distribution.
Mais à mesure que je vais additionner un nombre toujours plus grand de variables
But as I keep adding a larger and larger number of variables
chacune caractérisée par une distribution uniforme discrète,
each characterized by a discrete uniform distribution,
on voit que la distribution de la nouvelle variable converge de façon flagrante vers
we see that the distribution of the new variable conspicuously converges toward
une distribution normale.
a normal distribution.
N'est ce pas là un phénomène extraordinaire Albert?
Isn’t this an extraordinary phenomenon, Albert?
Tu ne sembles pas très impressionné.
You don’t seem very impressed.
Concluons donc par un exemple d'application de ce théorème.
Let us therefore conclude with an example of applying this theorem.
Oscar propose à Albert et Marie un jeu: ces deux derniers doivent chacun lancer une
Oscar proposes a game to Albert and Marie: these two must each roll a
dizaine de dés, et si la somme des vingt chiffres obtenus est de 100 ou plus,
dozen dice, and if the sum of the twenty numbers obtained is 100 or more,
Oscar leur offre une conserve de thon à partager.
Oscar offers them a can of tuna to share.
Au pire, Albert et Marine savent qu'ils obtiendront ensemble un total de 20 points,
At worst, Albert and Marie know they will jointly obtain a total of 20 points,
et au maximum un total de 120 points s'ils réalisent 20 fois 6,
and at most a total of 120 points if they roll twenty 6s,
ce qui est bien sûr extrêmement peu probable.
which is of course extremely unlikely.
Mais Oscar ne leur demande pas de faire 120 points, il demande 100 points ou plus.
But Oscar does not ask them to score 120 points; he asks for 100 points or more.
N'ayant rien à perdre, Albert et Marine se lancent et obtiennent ensemble 92.
Having nothing to lose, Albert and Marie go ahead and jointly obtain 92.
Dommage. Mais quelles sont les chances de faire 100 points ou plus à ce jeu?
Too bad. But what are the chances of scoring 100 points or more in this game?
La somme des 20 dés, ce n'est rien d'autre que la somme de 20 variables
The sum of the 20 dice is nothing other than the sum of 20 random
identiquement distribuées.
variables that are identically distributed.
D'après le théorème central limite, la distribution de cette somme est donc
According to the central limit theorem, the distribution of this sum is therefore
approximativement une distribution normale, ce que nous pouvons utiliser pour
approximately a normal distribution, which we can use to
calculer des probabilités.
calculate probabilities.
Comment réaliser les calculs n'est pas très difficile, mais toutefois un peu
How to perform the calculations is not very difficult, but nevertheless a bit
technique, et nous y consacrerons d'ailleurs une vidéo complète dans le futur.
technical, and we will in fact devote a full video to it in the future.
Pour le râl'bert, sache que la probabilité de faire cent points ou plus,
For Râl'bert, know that the probability of scoring one hundred points or more,
calculée sur base de la distribution normale, vaut zéro zéro zéro
calculated based on the normal distribution, equals zero zero zero
zéro zéro quarante- trois.
zero zero forty-three.
C'est donc assez clair, Oscar n'était pas vraiment inquiet pour sa conserve de thon.
It's therefore quite clear Oscar wasn't really worried about his tuna can.
oh Albert ne fais pas cette tête après tout tu es mon petit chat et j'aurai toujours
Oh Albert, don't make that face—after all, you're my little cat and I'll always
une conserve de thon en réserve pour toi au marin.
have a tuna can reserved for you at the dock.
Cette vidéo a été presque entièrement financée par nos fans et par le Fonds de
This video was almost entirely funded by our fans and by the Pedagogical
développement pédagogique de la plus grande université francophone de Belgique,
Development Fund of Belgium's largest French-speaking university, UCL.
l'UCL. Laura, Gwenaëlle et moi même tenons à remercier du fond du cœur toutes les
Laura, Gwenaëlle, and I ourselves sincerely thank all
personnes concernées pour ce coup de pouce.
individuals involved for this support.
merci pour votre attention et à très bientôt pour une nouvelle vidéo.
Thank you for your attention, and see you very soon for a new video.