B2 · 第7集 · 6:04
中心极限定理
动画猫咪 Albert 的统计学故事：Le théorème central limite。
来源：Nathan Uyttendaele · Laura Maugeri · Gwenaël Grisi / chatisticien · 许可：CC BY 4.0
字幕
Les physiciens ont la relativité générale et les élégantes équations de Maxwell,
物理学家有广义相对论和优美的麦克斯韦方程，
les chimistes ont le tableau périodique des éléments, les biologistes ont
化学家有元素周期表，生物学家有
l'évolution ou encore la fascinante molécule d'ADN, et les statisticiens ont le
进化论，或者令人着迷的DNA分子，而统计学家则有
théorème central limite.
中心极限定理。
Le théorème central limite, mon chat Albert n'en a jamais entendu parler,
中心极限定理，我的猫阿尔伯特从未听说过，
mais les statisticiens, eux, lui vouent un véritable culte.
但统计学家却对其顶礼膜拜。
Sans le théorème central limite, la statistique ne serait que l'ombre de ce qu'elle
没有中心极限定理，统计学就只是它今天所是之物的影子。
est aujourd'hui.
是今天的模样。
Il est donc grand temps, je crois, d'expliquer à Albert de quoi il s'agit.
因此，我认为现在是时候向阿尔伯特解释它究竟是什么了。
Au quotidien, le statisticien travaille avec ce qu'il appelle des variables
日常工作中，统计学家处理的是他们称之为随机
aléatoires. Albert, tu as encore oublié ce qu'était une variable?
变量的东西。阿尔伯特，你又忘了变量是什么吗？
Bon, je te le rappelle mais c'est la dernière fois.
好吧，我再提醒你一次，但这是最后一次。
Une variable aléatoire, c'est comme une boîte magique qui a pour particularité qu'à
随机变量就像一个魔法盒子，其特点是每次打开时，都会随机冒出一个值，
chaque ouverture, une valeur en sort sans que l'on puisse dire ce que sera cette
而我们无法预先知道这个值会是什么。
valeur à l'avance.
值。
Cela n'a toutefois pas empêché les statisticiens d'analyser un grand nombre de ces
然而，这并未阻止统计学家分析大量此类
boîtes et de conclure que, peu importe la boîte, il y a toujours ce qu'ils nomment
箱子，并得出结论：无论哪个箱子，其背后总存在他们所称的
une distribution de probabilité derrière.
概率分布。
Connaître la distribution de probabilité d'une variable est très important,
了解一个变量的概率分布非常重要，
Albert, car cela signifie avoir tout en main pour répondre à des questions du genre:
阿尔伯特，因为这意味着已完全掌握回答此类问题所需的一切：
quelles sont les chances qu'une valeur entre −2 et 6, 5 sorte?
某个值落在−2到6.5之间的可能性有多大？
Ou encore: quelle est la probabilité qu'une valeur plus petite que 60 ou plus grande
或者：获得小于60或大于
que 142 soit obtenue?
142的值的概率是多少？
Une distribution de probabilité très connue, c'est la fameuse courbe en cloche ou
一种广为人知的概率分布，就是著名的钟形曲线或
distribution normale.
正态分布。
Mais il y en a beaucoup d'autres, par exemple la distribution uniforme continue,
但还有许多其他分布，例如连续均匀分布、
la distribution triangulaire,
三角分布、
la distribution uniforme discrète,
离散均匀分布、
la distribution exponentielle, etc.
指数分布等。
Lorsque deux variables A et B ont exactement la même distribution de probabilité,
当两个变量A和B具有完全相同的概率分布时，
les statisticiens disent que ces variables sont identiquement distribuées.
统计学家称这些变量是同分布的。
Pour que tu comprennes bien ce que cela signifie Albert, imagine- toi avoir un clone
为了让你充分理解这意味著什么，阿尔伯特，想象一下你有一个克隆体，
qui vit quelques pâtés de maisons plus loin.
住在几条街之外。
Il est en tout point identique à toi, le pelage est le même,
它在各方面都与你一模一样，毛色相同，
la taille aussi, la tendance à rendre son maître fou furieux en dormant dans le
体型也相同，连让主人抓狂地睡在干净的
panier à linge propre également.
洗衣篮里也一样。
Vous êtes comme deux variables A et B qui seraient identiquement distribuées.
你们就像两个同分布的变量A和B。
Mais ce chat et toi êtes des êtres distincts.
但这只猫和你是两个不同的个体。
Ce n'est pas parce que ton clone est dans les bras de Morphée en ce moment que tu
此刻你的克隆体正酣睡于梦神怀抱，并不意味着你
dois l'être toi aussi.
也必须如此。
Ce n'est pas parce que ton clone partira peut- être jouer à l'extérieur plus tard
你的克隆体稍后或许会出门玩耍，并不意味着你
que tu en feras autant.
也会这么做。
Vous avez chacun votre propre vie.
你们各自拥有自己的生活。
Bon, passons aux choses sérieuses.
好了，言归正传。
Lorsqu'il n'est pas occupé à vous présenter un graphique, l'une des occupations
当它没忙着向你们展示图表时，其中一项工作是
favorites du statisticien consiste à assembler des variables aléatoires pour en
统计学家的拿手好戏是将随机变量组合起来，以
créer des nouvelles.
创造出新的变量。
Si je multiplie deux variables G et H qui ne sont pas forcément identiquement
如果我将两个未必同分布的随机变量G和H相乘，
distribuées, même si c'est souvent le cas, le résultat est une nouvelle variable
（尽管通常如此）结果便是一个新的随机变量。
aléatoire. Si je soustrais à G cinq fois la racine carrée de H,
如果我从G中减去五倍的H的平方根，
là aussi j'obtiens une nouvelle variable aléatoire.
同样会得到一个新的随机变量。
Il n'y a pas vraiment de limite à ce que l'on peut faire, mais le problème en bout
能做的其实几乎没什么限制，但最终的问题始终如一：
de ligne sera toujours le même: lorsqu'on assemble deux ou davantage de variables,
当我们将两个或更多变量组合起来时，
quelle sera la distribution de probabilité de la nouvelle variable?
新变量的概率分布会是什么？
C'est ici que les statisticiens ont découvert quelque chose qui aujourd'hui encore
正是在这里，统计学家发现了一件至今仍令我着迷的事。
me fascine. Plus on assemble un grand nombre de variables aléatoires identiquement
当我们通过加法将越来越多同分布的随机变量组合起来时，
distribuées par addition, plus la distribution de probabilité de la nouvelle
新变量的概率分布就越趋近于正态分布。
variable se rapproche d'une distribution normale.
这就是中心极限定理。
C'est ça le théorème central limite.
这就是中心极限定理。
Prenons deux boîtes ayant une distribution exponentielle.
取两个服从指数分布的盒子。
Comme on peut le voir à l'écran, l'addition de ces deux variables ne donne pas une
如屏幕所示，这两个变量相加并未得到一个
variable ayant une distribution normale.
呈正态分布的变量。
Mais à mesure que l'on va additionner toujours plus de variables ayant une
但随着我们不断加入更多呈指数分布的变量，
distribution exponentielle, la distribution de la variable finale converge lentement
指数分布，最终变量的分布会缓慢但确定地趋近于
mais sûrement vers une distribution normale.
正态分布。
Et ceci fonctionne pour n'importe quelle distribution de départ.
而且这对任意初始分布都成立。
Prenons deux variables ayant cette fois une distribution de probabilité uniforme
现在取两个服从离散均匀概率分布的变量，
discrète. Leur addition donne le résultat à l'écran, qui n'est clairement pas une
它们的和得到屏幕上显示的结果，这显然不是一种
distribution normale.
正态分布。
Mais à mesure que je vais additionner un nombre toujours plus grand de variables
但当我不断加入越来越多的变量，
chacune caractérisée par une distribution uniforme discrète,
每个变量均服从离散均匀分布，
on voit que la distribution de la nouvelle variable converge de façon flagrante vers
新变量的分布则明显趋近于
une distribution normale.
正态分布。
N'est ce pas là un phénomène extraordinaire Albert?
阿尔伯特，这难道不是一个非凡的现象吗？
Tu ne sembles pas très impressionné.
你似乎并不怎么印象深刻。
Concluons donc par un exemple d'application de ce théorème.
因此，我们以该定理的一个应用实例来结束。
Oscar propose à Albert et Marie un jeu: ces deux derniers doivent chacun lancer une
奥斯卡向阿尔伯特和玛丽提出一个游戏：这两人各自掷一
dizaine de dés, et si la somme des vingt chiffres obtenus est de 100 ou plus,
打骰子，若所得二十个数字之和为100或更高，
Oscar leur offre une conserve de thon à partager.
奥斯卡便赠予他们一罐金枪鱼罐头共同分享。
Au pire, Albert et Marine savent qu'ils obtiendront ensemble un total de 20 points,
最差情况下，阿尔伯特和玛丽知道他们合计至少能得到20分，
et au maximum un total de 120 points s'ils réalisent 20 fois 6,
而最多可得120分——即全部掷出20次6点，
ce qui est bien sûr extrêmement peu probable.
这当然极不可能。
Mais Oscar ne leur demande pas de faire 120 points, il demande 100 points ou plus.
但奥斯卡并未要求他们得到120分，而是要求100分或更高。
N'ayant rien à perdre, Albert et Marine se lancent et obtiennent ensemble 92.
由于毫无损失，阿尔伯特和玛丽便开始尝试，最终合计得到92分。
Dommage. Mais quelles sont les chances de faire 100 points ou plus à ce jeu?
可惜。但在此游戏中获得100分或更高的概率是多少？
La somme des 20 dés, ce n'est rien d'autre que la somme de 20 variables
二十枚骰子的点数总和，无非就是二十个随机
identiquement distribuées.
变量的和，且这些变量同分布。
D'après le théorème central limite, la distribution de cette somme est donc
根据中心极限定理，该总和的分布因此近似于正态分布，
approximativement une distribution normale, ce que nous pouvons utiliser pour
我们可以利用这一点来计算概率。
calculer des probabilités.
计算概率。
Comment réaliser les calculs n'est pas très difficile, mais toutefois un peu
如何进行计算并不太难，但还是有点
technique, et nous y consacrerons d'ailleurs une vidéo complète dans le futur.
技术性，我们未来还会专门为此制作一期完整视频。
Pour le râl'bert, sache que la probabilité de faire cent points ou plus,
对于拉尔伯特，要知道，获得一百分或更高的概率，
calculée sur base de la distribution normale, vaut zéro zéro zéro
基于正态分布计算，等于零零零
zéro zéro quarante- trois.
零零四十三。
C'est donc assez clair, Oscar n'était pas vraiment inquiet pour sa conserve de thon.
因此很明确，奥斯卡其实并不太担心他的金枪鱼罐头。
oh Albert ne fais pas cette tête après tout tu es mon petit chat et j'aurai toujours
哦，阿尔伯特，别摆出这副表情，毕竟你是我的小猫，我总会
une conserve de thon en réserve pour toi au marin.
在码头为你备着一罐金枪鱼。
Cette vidéo a été presque entièrement financée par nos fans et par le Fonds de
本期视频几乎完全由我们的粉丝以及比利时最大法语大学——
développement pédagogique de la plus grande université francophone de Belgique,
鲁汶天主教大学（UCL）的教学发展基金资助。
l'UCL. Laura, Gwenaëlle et moi même tenons à remercier du fond du cœur toutes les
劳拉、格温娜埃尔和我本人，衷心感谢所有
personnes concernées pour ce coup de pouce.
为此提供支持的人士。
merci pour votre attention et à très bientôt pour une nouvelle vidéo.
感谢您的关注，我们很快将推出新一期视频。